Enunciado

Um campo de escoamento incompressível bidimensional é definido pelos componentes de velocidade

u = 2 V x L - y L       v = - 2 V y L  

em que V e L são constantes. Se elas existem, encontre a função corrente e o potencial de velocidade.

Passo 1

E lá vamos nós resolver mais uma! Bora que bora!

Primeiro, bora checar se a continuidade ta sendo satisfeita:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 2 V L - 2 V L = 0

Logo, continuidade satisfeita, o que nos indica que existe uma função corrente!

Testemos agora se temos ai um campo irrotacional, que vai nos indicar se temos um potencial de velocidade, assim:

∇ × V = k ∂ v ∂ x - ∂ u ∂ y = k 0 + 2 V L ≠ 0

Ou seja, não teremos função potencial de velocidade.

Passo 2

Okay. Bora encontrar a função corrente, bora integrar essas nossas velocidades, assim:

u = ∂ ψ ∂ y = 2 V x L - y L → ψ = 2 V x y L - y 2 2 L + f ( x )

Temos que,

∂ ψ ∂ x = 2 V y L + d f d x = - v = 2 V y L

Assim, tendo, d f d x = 0 , teremos nossa função corrente sendo:

ψ = V 2 x y L - y 2 L + c o n s t a n t e

Resposta

ψ = V 2 x y L - y 2 L + c o n s t a n t e

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