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Considere uma parede plana composta constituída por três materiais (materiais A , B e C organizados da esquerda para a direita) de condutividade térmica k A = 0,24   W / m · K , k B = 0,13   W / m · K e k C = 0,50   W / m · K . As espessuras das três camadas da parede são L A = 20   m m , L B = 13   m m e L C = 20   m m . Há uma resistência de contato de R t , c ' = 10 - 2   m 2 K / W na interface entre os materiais A e B , assim como na interface entre os materiais B e C . A face esquerda da parede composta é isolada termicamente, enquanto a face direita está exposta a condições convectivas caracterizadas por h = 10   W / m 2 · K e T ∞ = 20 ℃ . No Caso 1, energia térmica é gerada no material A a uma taxa de q ˙ A = 5000   W / m 3 . No Caso 2, energia térmica é gerada no material C a uma taxa de q ˙ C = 5000   W / m 3 .

(a) Determine a temperatura máxima no interior da parede composta sob condições de regime estacionário para o Caso 1.

(b) Esboce a distribuição de temperaturas em coordenadas T - x , em estado estacionário, para o Caso 1.

(c) Esboce a distribuição de temperaturas, em estado estacionário, para o Caso 2 nas mesmas coordenadas T - x usadas para o Caso 1.

Passo 1

Nessa questão, queremos encontrar (a) temperatura máxima no interior da parede para o Caso 1, (b) esboçar a distribuição de temperaturas em coordenadas T - x em estado estacionário para o caso 1, (c) esboçar a distribuição de temperaturas, em estado estacionário, para o Caso 2 em coordenadas T - x .

PRESSUPOSTOS:

(1) condições de estado estacionário;

(2) transferência de calor unidimensional;

(3) geração uniforme de energia volumétrica.

DADOS FORNECIDOS:

Temperatura do fluido externo: T ∞ = 20 ℃

Coeficiente convectivo: h = 10   W / m 2 · K

Condutividade térmica da parede A: k A = 0,24   W / m ⋅ K

Condutividade térmica da parede B: k B = 0,13   W / m ⋅ K

Condutividade térmica da parede C: k C = 0,50   W / m ⋅ K

Espessura da parede A: L A = 20   m m = 0,02   m

Espessura da parede B: L B = 13   m m = 0,013   m

Espessura da parede C: L C = 20   m m = 0,02   m

Resistência de contato: R t , c ' ' = 10 - 2   m 2 K / W

Caso 1

Energia térmica é gerada no material A : q ˙ A = 5000   W / m 3

Caso 2

Energia térmica é gerada no material C: q ˙ C = 5000   W / m 3 .

Passo 2

(a) Para resolver essa questão, podemos fazer o seguinte esquema para a parede composta de dos materiais A, B e C.

No caso 1, temos que o lado esquerdo da parede é isolado e o lado direito da parede é exposto ao ambiente tendo assim convecção. Para o caso 1, onde a energia térmica é gerada em material A, podemos desenhar o circuito de rede térmica equivalente, como mostrado abaixo:

Aqui,  R t , c ' ' é a resistência de contato térmico entre os materiais A e B, B e C,  L B / k B A é a resistência de condução no material B,  L C / k C A é a resistência de condução no material C.

Passo 3

Para resolver essa questão é importante saber que sob condições de estado estacionário, a quantidade de calor gerada na parede A é igual à taxa de calor conduzida na parede composta. Ou seja:

q = q ˙ A V A

Aqui,  q ˙ A é a quantidade de calor gerado no material A e  V A é o volume da parede A.

Com o circuito de rede térmica equivalente, podemos escrever a equação de condução de calor do material A até a extremidade direita da parede. Assim temos:

q = T s ,   A 2 - T ∞ R t o t a l

q = T s ,   A 2 - T ∞ R t , c ' ' A + L B k B A + R t , c ' ' A + L C k C A + 1 h A

Substituindo a taxa de calor conduzida, podemos encontrara temperatura T s ,   A 2 da seguinte maneira:

q ˙ A V A = T s ,   A 2 - T ∞ R t , c ' ' A + L B k B A + R t , c ' ' A + L C k C A + 1 h A

q ˙ A L A A = T s ,   A 2 - T ∞ R t , c ' ' A + L B k B A + R t , c ' ' A + L C k C A + 1 h A

q ˙ A L A = T s ,   A 2 - T ∞ R t , c ' ' + L B k B + R t , c ' ' + L C k C + 1 h

T s ,   A 2 = q ˙ A L A R t , c ' ' + L B k B + R t , c ' ' + L C k C + 1 h + T ∞

Substituindo os termos da equação acima pelos dados fornecidos, temos:

T s ,   A 2 = 5000 0,02 10 - 2 + 0,013 0,13 + 10 - 2 + 0,02 0,50 + 1 10 + 20

T s ,   A 2 = 46 ℃

Passo 4

Temos que a temperatura máxima ocorre em x = 0 e pode ser avaliada usando a Eq. 3.48. Assim temos:

T 0 = q ˙ L 2 2 k + T s  

T m á x = q ˙ A L A 2 2 k A + T s ,   A 2

Substituindo os termos da equação acima pelos dados obtidos, temos:

T m á x = 5000   W / m 3 0,02   m 2 2 0,24   W / m ⋅ K + 46 ℃

T m á x = 50,167 ℃

Portanto, a temperatura máxima dentro da parede composta para o caso 1, é  50,167 ℃ .

Passo 5

(b) Agora, vamos encontrar as temperaturas em cada ponto da interface para esboçar a o gráfico da distribuição de temperatura para o estado estacionário. Temos que o fluxo de calor conduzido no material A, é igual no material B, é igual no material C e na convecção do lado direito da parede composta. Assim, podemos dizer que:

q = q ˙ A L A = T s ,   A 2 - T s , B 2 R t , c ' '

T s , B 2 = T s ,   A 2 - q ˙ A L A R t , c ' '

Substituindo os termos da equação acima pelos dados obtidos, temos:

T s , B 2 = 46 ℃ - 5000   W / m 3 0,02   m 10 - 2   m 2 K / W

T s , B 2 = 45 ℃

Podemos dizer também que:

T s ,   B 3 = T s , B 2 - q ˙ A L A L B k B

Substituindo os termos da equação acima pelos dados obtidos, temos:

T s , B 2 = 45 ℃ - 5000   W / m 3 0,02   m 0,013   m 0,13   W / m ⋅ K

T s , B 2 = 35 ℃

Podemos dizer também que:

T s , C 3 = T s ,   B 3 - q ˙ A L A R t , c ' '

Substituindo os termos da equação acima pelos dados obtidos, temos:

T s , C 3 = 35 ℃ - 5000   W / m 3 0,02   m 10 - 2   m 2 K / W

T s , B 2 = 34 ℃

Podemos dizer também que:

T s , C 4 = T s , C 3 - q ˙ A L A L C k C

Substituindo os termos da equação acima pelos dados obtidos, temos:

T s , C 4 = 34 ℃ - 5000   W / m 3 0,02   m 0,02   m 0,50   W / m ⋅ K

T s , C 4 = 30 ℃

Passo 6

Agora, podemos desenhar o esboço da distribuição de temperatura no estado estacionário, como mostrado abaixo.

Passo 7

(c) Agora, vamos considerar o caso 2, onde a geração de calor ocorre no material C. No estado estacionário, não há calor conduzido da parede de material C para a parede de material A e B, pois a face esquerda é isolada e o calor não pode fluir. Então, vamos calcular a temperatura T s , C 4 na superfície do material C exposta ao ambiente sabendo que o calor gerado na parede C é igual à transferência de calor por convecção externa. Ou seja:

q ˙ V C = h A C T s , C 4 - T ∞

q ˙ V C h A C = h T s , C 4 - T ∞

T s , C 4 = q ˙ L C h + T ∞

Aqui,  L C é a espessura do material C e  T s , C 4 é a temperatura da superfície no material C. Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

T s , C 4 = 5000   W / m 3 0,02   m 10   W / m 2 · K + 20 ℃

T s , C 4 = 30 ℃

Passo 8

Temos que a temperatura máxima ocorre em x = 0 e pode ser avaliada usando a Eq. 3.48. Assim temos:

T 0 = q ˙ L 2 2 k + T s  

T m á x = q ˙ C L C 2 2 k C + T s , C 4

Substituindo os termos da equação acima pelos dados obtidos, temos:

T m á x = 5000   W / m 3 0,02   m 2 2 0,50   W / m ⋅ K + 30 ℃

T m á x = 32 ℃

Passo 9

Agora, podemos desenhar o esboço da distribuição de temperatura no estado estacionário, como mostrado abaixo.

Resposta

(a)

T m á x = 50,167 ℃

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