Enunciado

Considere o elemento combustível revestido do Problema 3.90.

(a) Usando relações apropriadas das Tabelas C . 1 e C . 2 , obtenha uma expressão para a distribuição de temperaturas T x no elemento combustível. Para k c = 60   W / m · K , L = 15   m m , b = 3   m m , k a = 15   W / m · K , h = 10.000   W / m 2 · K e T ∞ = 200 ℃ , quais são a maior e a menor temperaturas no elemento combustível, se calor estiver sendo gerado uniformemente a uma taxa volumétrica de q ˙ = 2 × 10 7   W / m 3 ? Quais são as respectivas posições?

(b) Se o isolamento for removido e condições equivalentes de convecção forem mantidas em cada superfície, qual é a forma correspondente da distribuição de temperaturas no elemento combustível? Para as condições da parte (a), quais são a maior e a menor temperaturas no combustível? Quais são as respectivas posições?

(c) Para as condições das partes (a) e (b), represente graficamente as distribuições de temperaturas no elemento combustível.

Passo 1

Fala Galera!!

Nessa questão queremos encontrar (a) a distribuição de temperatura no elemento combustível, com uma superfície isolada e a outra resfriada por convecção. A maior e menor temperatura e locais correspondentes. (b) Igual à parte (a), mas com condições de convecção equivalentes em ambas às superfícies, (c) o gráfico das distribuições de temperatura.

DADOS FORNECIDOS:

Condutividade térmica do combustível: k c = 60   W / m · K

Condutividade térmica do revestimento: k a = 15   W / m · K

Coeficiente convectivo: h = 10.000   W / m 2 · K

Metade da espessura do combustível: L = 15   m m

Espessura do revestimento: b = 3   m m

Temperatura do refrigerante: T ∞ = 200 ℃

Taxa volumétrica de geração de calor: q ˙ = 2 × 10 7   W / m 3

PRESSUPOSTOS:

(1) Transferência de calor unidimensional;

(2) Estado estacionário;

(3) Geração uniforme;

(4) Propriedades constantes;

(5) Resistência desprezível ao contato.

Passo 2

(a) Podemos desenhar o seguinte esquema para o elemento combustível revestido do Problema 3.90.

Passo 3

Para resolver essa questão, podemos começar escrevendo e equação C . 1 da distribuição de temperatura para parede plana da tabela C . 1 . Temos o seguinte:

T x = q ˙ L 2 2 k c 1 - x 2 L 2 + T s , 2 - T s , 1 2 x L + T s , 1 + T s , 2 2                           E q . 1

Aqui, T x é a temperatura na direção de  x , q ˙ é a taxa de transferência de calor, k c é a condutividade térmica do combustível, x é à distância na direção vertical, T s , 2 e T s , 1 são a temperaturas das superfícies esquerda e direita respectivamente e L é comprimento.

Passo 4

Pela tabela C . 2 podemos encontrar a equação para o fluxo térmica nas superfícies. Para a superfície 1 quando x = - L , pela equação C . 10 temos que o fluxo térmico é o seguinte:

q s , 1 ' ' = - q ˙ L - k c 2 L T s , 2 - T s , 1

Como o revestimento é isolado em contato com essa superfície é isolado, o fluxo térmico é zero, e, portanto:

0 = - q ˙ L - k c 2 L T s , 2 - T s , 1

k c 2 L T s , 2 - T s , 1 = - q ˙ L

T s , 2 - T s , 1 = - 2 q ˙ L 2 k c                                 E q . 2

Passo 5

Também pela tabela C . 2 , para a superfície 2 quando x = L , em que conhecemos a temperatura ambiente e coeficiente de transporte, pela equação C . 1 3 temos o seguinte:

U 2 T s , 2   - T ∞ = q ˙ L - k c 2 L T s , 2 - T s , 1

k c 2 L T s , 2 - T s , 1 = - U 2 T s , 2   - T ∞ + q ˙ L

T s , 2 - T s , 1 = - 2 L U 2 k c T s , 2   - T ∞ + 2 q ˙ L 2 k c                 E q . 3

Aqui, o coeficiente geral de transferência de calor é U 2 . Em que:

1 U 2 = R T o t a l ' ' = 1 h + b k a

Passo 6

Agora, vamos colocar T s , 1 e T s , 2 em função dos outros termos para substituir na E q . 1 . Subtraindo a equação 3 da equação 2, temos o seguinte:

T s , 2 - T s , 1 - T s , 2 - T s , 1 = - 2 q ˙ L 2 k c - - 2 L U 2 k c T s , 2   - T ∞ + 2 q ˙ L 2 k c

0 = 2 L U 2 k c T s , 2   - T ∞ - 4 q ˙ L 2 k c

2 L U 2 k c T s , 2   - T ∞ = 4 q ˙ L 2 k c

T s , 2   - T ∞ = 2 q ˙ L U 2

T s , 2   = 2 q ˙ L U 2 + T ∞                         E q . 4

Passo 7

Agora, vamos substituir a equação 4 na equação 2. Assim temos:

2 q ˙ L U 2 + T ∞ - T s , 1 = - 2 q ˙ L 2 k c

T s , 1 = 2 q ˙ L 2 k c + 2 q ˙ L U 2 + T ∞                           E q . 5

Passo 8

Agora, vamos substituir as equações 4 e 5 na equação 1. Assim temos:

T x = q ˙ L 2 2 k c 1 - x 2 L 2 + T s , 2 - T s , 1 2 x L + T s , 1 + T s , 2 2

T x = q ˙ L 2 2 k c 1 - x 2 L 2 + 1 2 2 q ˙ L U 2 + T ∞ - 1 2 2 q ˙ L 2 k c + 2 q ˙ L U 2 + T ∞ x L + 1 2 2 q ˙ L 2 k c + 2 q ˙ L U 2 + T ∞ + 1 2 2 q ˙ L U 2 + T ∞

T x = q ˙ L 2 2 k c 1 - x 2 L 2 + q ˙ L U 2 + T ∞ 2 - q ˙ L 2 k c - q ˙ L U 2 - T ∞ 2 x L + q ˙ L 2 k c + q ˙ L U 2 + T ∞ 2 + q ˙ L U 2 + T ∞ 2

T x = q ˙ L 2 2 k c - q ˙ 2 k c x 2 - q ˙ L k c x + q ˙ L 2 k c + 2 q ˙ L U 2 + T ∞

T x = - q ˙ 2 k c x 2 - q ˙ L k c x + 2 q ˙ L 3 L 4 k c + 1 U 2 + T ∞

Substituindo U 2 temos o seguinte:

T x = - q ˙ 2 k c x 2 - q ˙ L k c x + 2 q ˙ L 3 L 4 k c + 1 h + b k a + T ∞

Portanto, a equação de distribuição de temperatura é:

T x = - q ˙ 2 k c x 2 - q ˙ L k c x + 2 q ˙ L 3 L 4 k c + b k a + 1 h + T ∞

Passo 9

A temperatura máxima ocorre quando

d T d x = 0

Derivando a equação de destruição de temperatura e igualando a zero, temos:

- q ˙ k c x - q ˙ L k c = 0

q ˙ k c x = - q ˙ L k c

x = - L

Portanto a temperatura máxima ocorre quando x = - L . Substituindo os dados fornecidos na equação de distribuição de temperatura, temos o seguinte:

T x = - 2 × 10 7 2 60 x 2 - 2 × 10 7 0,015 60 x + 2 2 × 10 7 0,015 3 0,015 4 60 + 0,003 15 + 1 10.000 + 200

T x = - 5 × 10 5 3 x 2 - 5 × 10 3 x + 492,5

Substituindo x = - L = - 0,015 temos:

T m á x = T - 0,015 = - 5 × 10 5 3 - 0,015 2 - 5 × 10 3 - 0,015 + 492,5

T m á x = 530 ℃

Portanto temos que a temperatura máxima é 530 ℃ quando x = - L .

Passo 10

Devido a equação de distribuição de temperatura ser parabólica e a temperatura máxima ocorrer em x = - L , temos então que a temperatura mínima ocorrera em x = L . Substituindo na equação, temos o seguinte:

T m í n = T 0,015 = - 5 × 10 5 3 0,015 2 - 5 × 10 3 0,015 + 492,5

T m í n = 380 ℃

Portanto temos que a temperatura mínima é 38 0 ℃ quando x = L .

Passo 11

(b) Podemos desenhar o seguinte esquema para o elemento combustível revestido do Problema 3.90 sem isolamento.

Passo 12

Para resolver essa questão, podemos começar escrevendo e equação C . 1 da distribuição de temperatura para parede plana da tabela C . 1 . Temos o seguinte:

T x = q ˙ L 2 2 k c 1 - x 2 L 2 + T s , 2 - T s , 1 2 x L + T s , 1 + T s , 2 2                           E q . 6

Aqui, T x é a temperatura na direção de  x , q ˙ é a taxa de transferência de calor, k c é a condutividade térmica do combustível, x é à distância na direção vertical, T s , 2 e T s , 1 são a temperaturas das superfícies esquerda e direita respectivamente e L é comprimento.

Passo 13

Pela tabela C . 2 , para a superfície 1 quando x = - L , em que conhecemos a temperatura ambiente e coeficiente de transporte, pela equação C . 12 temos o seguinte:

U T ∞ - T s , 1   = - q ˙ L - k c 2 L T s , 2 - T s , 1

k c 2 L T s , 2 - T s , 1 = - U T ∞ - T s , 1   - q ˙ L

T s , 2 - T s , 1 = - 2 L U k c T ∞ - T s , 1   - 2 q ˙ L 2 k c                 E q . 7

Aqui, o coeficiente geral de transferência de calor é U . Em que:

1 U = R T o t a l ' ' = 1 h + b k a

Passo 14

Também pela tabela C . 2 , para a superfície 2 quando x = L , em que conhecemos a temperatura ambiente e coeficiente de transporte, pela equação C . 13 temos o seguinte:

U T s , 2   - T ∞ = q ˙ L - k c 2 L T s , 2 - T s , 1

k c 2 L T s , 2 - T s , 1 = - U T s , 2   - T ∞ + q ˙ L

T s , 2 - T s , 1 = - 2 L U k c T s , 2   - T ∞ + 2 q ˙ L 2 k c                 E q . 8

Passo 15

Agora, vamos colocar T s , 1 e T s , 2 em função dos outros termos para substituir na E q . 6 . Somando a equação 8 da equação 7, temos o seguinte:

T s , 2 - T s , 1 + T s , 2 - T s , 1 = - 2 L U k c T ∞ - T s , 1   - 2 q ˙ L 2 k c + - 2 L U k c T s , 2   - T ∞ + 2 q ˙ L 2 k c

2 T s , 2 - 2 T s , 1 = - 2 L U k c T ∞ - T s , 1   - 2 L U 2 k c T s , 2   - T ∞

2 T s , 2 - T s , 1 = - 2 L U k c T ∞ - T s , 1   + T s , 2   - T ∞

2 T s , 2 - T s , 1 = - 2 L U k c T s , 2 - T s , 1

T s , 2 - T s , 1 2 + 2 L U k c = 0

Como 2 + 2 L U k c é sempre diferente de zero, temos que:

T s , 2 - T s , 1 = 0

T s , 2 = T s , 1

Passo 16

Agora, vamos substituir o que encontramos no passo anterior na equação 8. Assim temos:

T s , 1 - T s , 1 = - 2 L U k c T s , 1 - T ∞ + 2 q ˙ L 2 k c

0 = - 2 L U k c T s , 1 - T ∞ + 2 q ˙ L 2 k c

2 L U k c T s , 1 - T ∞ = 2 q ˙ L 2 k c

T s , 1 - T ∞ = q ˙ L U

T s , 1 = q ˙ L U + T ∞

Passo 17

Agora, vamos substituir o que encontramos acima e também no passo 15 na equação 6. Assim temos:

T x = q ˙ L 2 2 k c 1 - x 2 L 2 + T s , 2 - T s , 1 2 x L + T s , 1 + T s , 2 2

T x = q ˙ L 2 2 k c 1 - x 2 L 2 + T s , 1 - T s , 1 2 x L + T s , 1 + T s , 1 2

T x = q ˙ L 2 2 k c 1 - x 2 L 2 + T s , 1

T x = q ˙ L 2 2 k c 1 - x 2 L 2 + q ˙ L U + T ∞

Substituindo U temos o seguinte:

T x = q ˙ L 2 2 k c 1 - x 2 L 2 + q ˙ L 1 h + b k a + T ∞

Portanto, a equação de distribuição de temperatura é:

T x = q ˙ L 2 2 k c 1 - x 2 L 2 + q ˙ L 1 h + b k a + T ∞

Passo 18

A temperatura máxima ocorre quando

d T d x = 0

Derivando a equação de destruição de temperatura e igualando a zero, temos:

- q ˙ k c x = 0

x = 0

Portanto a temperatura máxima ocorre quando x = 0 . Substituindo os dados fornecidos na equação de distribuição de temperatura, temos o seguinte:

T x = 2 × 10 7 0,015 2 2 60 1 - x 2 0,015 2 + 2 × 10 7 0,015 1 10.000 + 0,003 15 + 200

T x = - 5 × 10 5 3 x 2 + 327,5

Substituindo x = 0 temos:

T m á x = T 0 = - 5 × 10 5 3 0 2 + 327,5

T m á x = 327,5 ℃

Portanto temos que a temperatura máxima é 327,5 ℃ quando x = 0 .

Passo 19

Devido a equação de distribuição de temperatura ser parabólica e a temperatura máxima ocorrer em x = 0 , temos então que a temperatura mínima ocorrera em x = L e x = - L . Substituindo na equação, temos o seguinte:

T m í n = T 0,015 = - 5 × 10 5 3 0,015 2 + 327,5

T m í n = 29 0 ℃

Portanto temos que a temperatura mínima é 29 0 ℃ quando x = L e x = - L .

Passo 20

(c) Podemos fazer a seguinte tabela de dados com as equações de distribuição de temperatura encontrada para Letra (a) e a letra (b):

Passo 21

O gráfico da distribuição de temperatura fica da seguinte forma:

Resposta

(a)

T x = - q ˙ 2 k c x 2 - q ˙ L k c x + 2 q ˙ L 3 L 4 k c + b k a + 1 h + T ∞

T m á x = 530 ℃ x = - L

T m í n = 380 ℃ x = L

(b)

T x = q ˙ L 2 2 k c 1 - x 2 L 2 + q ˙ L 1 h + b k a + T ∞

T m á x = 327,5 ℃ x = 0

T m í n = 290 ℃ x = L   e - L .

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