Enunciado

Uma casca cilíndrica com raios interno e externo r i e r e , respectivamente, é feita com um material gerador de calor que fornece uma taxa volumétrica de geração uniforme (W/m³) de q ˙ . A superfície interna é isolada, enquanto a superfície externa da casca está exposta a uma fluido à T ∞ com um coeficiente convectivo h.

(a) Obtenha uma expressão para a distribuição de temperaturas em estado estacionário, T(r), na casca, representando o seu resultado em termos de r i , r e , q ˙ , h, T ∞ e da condutividade térmica k do material da casca.

(b) Determine uma expressão para a taxa de transferência de calor, q ' r e , no raio externo da casca, em termos de q ˙ e das dimensões da casca.

Passo 1

Beleza! A primeira coisa que vamos fazer é ilustrar o problema, então, teremos:

Agora, diante do problema, sabemos que a equação geral para a distribuição de temperatura será:

T = - q ˙ r 2 4 k + C 1 ln ⁡ r + C 2

Agora, precisamos encontrar o valor das constantes C 1 e C 2 . Como sabemos que a superfície interna, em r = r i é isolada, temos:

r = r i → d T d r = 0

Então, substituindo esses valores na derivada da equação da temperatura, temos:

d T d r = - q ˙ r 2 k + C 1 r → 0 = - q ˙ r i 2 k + C 1 r i → C 1 = q ˙ r i 2 2 k

Passo 2

Agora, para encontrar C 2 nós vamos usar a condição na extremidade r = r e , onde sabemos que a transferência de calor por condução é igual à por convecção, então, temos:

- k d T d r r = r e = h T r e - T ∞

Substituindo as expressões conhecidas, temos:

- k - q ˙ r e 2 k + q ˙ r i 2 2 k r e = h - q ˙ r e 2 4 k + q ˙ r i 2 2 k ln ⁡ r e + C 2 - T ∞

Isolando T 2 dessa expressão, chegamos em:

C 2 = q ˙ r e 2 h - q ˙ r i 2 2 h r e + q ˙ r e 2 4 k - q ˙ r i 2 2 k ln ⁡ r e + T ∞

Dessa forma, o perfil de temperatura será:

T = - q ˙ r 2 4 k + q ˙ r i 2 2 k ln ⁡ r + q ˙ r e 2 h - q ˙ r i 2 2 h r e + q ˙ r e 2 4 k - q ˙ r i 2 2 k ln ⁡ r e + T ∞

Passo 3

Agora, para a letra (b), para encontrar a taxa de transferência de calor q ' r e vamos aplicar um balanço de energia na casca, então, teremos que a taxa de energia gerada será a taxa de calor q ' r e . Então, temos:

q ' r e = E ˙ g '

E a taxa de energia gerada pode ser escrita como:

E ˙ g ' = q ˙ π r e 2 - r i 2

Então, a equação acima se torna:

q ' r e = q ˙ π r e 2 - r i 2

Resposta

a :   T = - q ˙ r 2 4 k + q ˙ r i 2 2 k ln ⁡ r + q ˙ r e 2 h - q ˙ r i 2 2 h r e + q ˙ r e 2 4 k - q ˙ r i 2 2 k ln ⁡ r e + T ∞

b :   q ' r e = q ˙ π r e 2 - r i 2

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