Enunciado

Considere a parede composta do Exemplo 3.7. Na seção de Comentários, distribuições de temperaturas na parede foram determinadas considerando resistência de contato desprezível entre os materiais A e B . Calcule e represente graficamente as distribuições de temperaturas para uma resistência térmica de contato igual a R t , c ' ' = 10 - 4   m 2 · K / W .

Passo 1

Fala Galera!!

Nessa questão queremos determinar a distribuição de temperatura na parede composta e representar graficamente.

PRESSUPOSTOS:

(1) condições de estado estacionário;

(2) condução unidimensional com propriedades constantes;

(3) a superfície interna do material A é adiabática.

DADOS FORNECIDOS:

Geração de calor uniforme na parede A: q ˙ = 1,5 × 10 6   W / m 3

Condutividade térmica da parede A: k A = 75   W / m · K

Espessura da parede A: L A = 50   m m

Condutividade térmica da parede B: k B = 150   W / m · K

Espessura da parede B: L B = 20   m m

Temperatura da corrente de água: T ∞ = 30 ℃

Coeficiente de transferência de calor por convecção: h = 1000   W / m 2 · K

Resistência térmica de contato: R t , c ' ' = 10 - 4   m 2 · K / W

Passo 2

Para resolver essa questão, podemos fazer o seguinte esquema para a parede composta de material A e B do exemplo 3.7:

Também podemos fazer um esquema para o circuito equivalente térmico da resistência de contato para o lado direito do material B, como mostrado abaixo:

Aqui,  R t , c ' ' é a resistência de contato térmico, R c o n d , B ' '  é a resistência de condução no material B e  R c o n v ' ' é a resistência de convecção.

Passo 3

Temos que no material A, apresenta geração uniforme de calor, assim, a distribuição de temperatura pode ser dada pela equação 3.47. Assim temos:

T x = q ˙ L 2 2 k 1 - x 2 L 2 + T s

Considerando o esquema feito no passo anterior, a distribuição de temperatura no material A fica da seguinte maneira:

T A x = q ˙ L A 2 2 k A 1 - x 2 L A 2 + T 1                                       0 ≤ x ≤ L A

Passo 4

Temos que no material B, não apresenta geração uniforme de calor, assim, a distribuição de temperatura é uniforme e pode ser dada pela equação 3.2. Assim temos:

T B x = C 1 x + C 2

Considerando o esquema feito no passo 2, podemos encontrar as constantes para determinar a distribuição de temperatura no material B. Assim temos:

Para x ≤ L A

T 2 = C 1 L A + C 2

C 2 = T 2 - C 1 L A

Para x ≤ L A + L B

T 3 = C 1 L A + L B + C 2

T 3 = C 1 L A + C 1 L B + T 2 - C 1 L A

T 3 = C 1 L B + T 2

C 1 = T 3 - T 2 L B

Substituindo C 1 em C 2 , temos o seguinte:

C 2 = T 2 - T 3 - T 2 L B L A

Substituindo na equação de distribuição de temperatura, temos:

T B x = T 3 - T 2 L B x + T 2 - T 3 - T 2 L B L A

T B x = T 3 - T 2 L B x - L A + T 2                                     L A ≤ x ≤ L A + L B

Na interface entre os dois materiais, x = L A , a distribuição de temperatura mostrará uma descontinuidade.

Passo 5

Agora, precisamos determinar T 1 , T 2 e T 3 para colocar nas equações de distribuição de temperatura encontradas nos passos anteriores. Considerando o circuito térmico acima, incluindo a resistência de contato térmico, temos o seguinte:

q ' ' = q ˙ L A = T 1 - T ∞ R t , c ' ' + R c o n d , B ' ' + R c o n v ' ' = T 2 - T ∞ R c o n d , B ' ' + R c o n v ' ' = T 3 - T ∞ R c o n v ' '

Podemos encontrar T 3 da seguinte maneira:

q ˙ L A = T 3 - T ∞ R c o n v ' '

T 3 = q ˙ L A R c o n v ' ' + T ∞

T 3 = q ˙ L A 1 h   + T ∞

Substituindo os termos da equação acima pelos dados fornecidos, temos:

T 3 = 1,5 × 10 6   W / m 3 50 × 10 - 3   m 1 1000   W / m 2 · K + 30 ℃

T 3 = 105 ℃

Passo 6

Podemos encontrar T 2 da seguinte maneira:

q ˙ L A = T 2 - T ∞ R c o n d , B ' ' + R c o n v ' '

T 2 = q ˙ L A R c o n d , B ' ' + R c o n v ' ' + T ∞

T 2 = q ˙ L A L B k B + 1 h + T ∞

Substituindo os termos da equação acima pelos dados fornecidos, temos:

T 2 = 1,5 × 10 6   W / m 3 50 × 10 - 3   m 2 0 × 10 - 3   m 150   W / m · K + 1 1000   W / m 2 · K + 30 ℃

T 2 = 115 ℃

Passo 7

Podemos encontrar T 1 da seguinte maneira:

q ˙ L A = T 1 - T ∞ R t , c ' ' + R c o n d , B ' ' + R c o n v ' '

T 1 = q ˙ L A R t , c ' ' + R c o n d , B ' ' + R c o n v ' ' + T ∞

T 1 = q ˙ L A R t , c ' ' + L B k B + 1 h + T ∞

Substituindo os termos da equação acima pelos dados fornecidos, temos:

T 1 = 1,5 × 10 6 W m 3 50 × 10 - 3   m 10 - 4 m 2 · K W + 2 0 × 10 - 3   m 150 W m · K + 1 1000 W m 2 · K + 30 ℃

T 1 = 1 22,5 ℃

Passo 8

Podemos encontrar T 0 substituindo x = 0 na equação encontrada no passo 3. Assim temos:

T A x = q ˙ L A 2 2 k A 1 - x 2 L A 2 + T 1

T 0 = q ˙ L A 2 2 k A 1 - 0 L A 2 + T 1

T A x = q ˙ L A 2 2 k A + T 1

T 0 = 1,5 × 10 6   W / m 3 0,05 2 2 75   W / m · K + 122,5 ℃

T 0 = 147,5 ℃

Passo 9

Portanto, temos que as distribuições de temperaturas na parede composta substituindo todos os valores encontrados são:

T A x = 25 ℃ 1 - x 2 0,0025   m 2 + 122,5 ℃

T B x = - 500 ℃ / m x + 140 ℃

Passo 10

Podemos então traçar a distribuição de temperatura com todos os valores de temperatura conhecidos a partir das distribuições de temperaturas na parede composta encontradas acima. Assim temos:

Resposta

T A x = 25 ℃ 1 - x 2 0,0025   m 2 + 122,5 ℃

T B x = - 500 ℃ / m x + 140 ℃

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