Enunciado

Na ciência da engenharia, analogias entre fenômenos semelhantes são frequentemente aplicadas. Por exemplo, a diferença de pressão Δp aplicada e a correspondente vazão Q em um tubo podem ser comparadas, respectivamente, com a tensão contínua V e a corrente contínua I através de um resistor elétrico. Por analogia, encontre a fórmula para a “resistência” do escoamento laminar do fluido de viscosidade μ em um tubo de comprimento L e diâmetro D, correspondendo à resistência elétrica R. Para um tubo de comprimento 250 mm e diâmetro 7,5 mm, encontre a os valores máximos da vazão e da diferença de pressão para que esta analogia funcione para (a) querosene e (b) óleo castor (ambos a 40°C). Quando a vazão excede este máximo, porque a analogia falha?

Passo 1

A equação para vazão em função da queda de pressão para escoamento laminar é:

Q = π ∆ p D 4 128 μ L

Por analogia com a disciplina de elétrica, podemos dizer que a resistência é:

R = ∆ p Q

Logo, a formula da resistência do escoamento é:

R = 128 . μ . L π . D 4

Passo 2

A máxima vazão que essa analogia vai funcionar é para Re=2300, então a vazão deve ser em função de Reynolds:

R e = ρ V D μ = ρ 4 Q π D μ

R e = ρ 4 Q π D μ

Q = R e . π . D . μ 4 ρ

Para querosene que tem μ = 1,1 X 10 - 3   N . s / m ² e ρ = 812   k g / m ³ a vazão é:

Q = 2300 . π . 0,0075.1,1 X 10 - 3 4.812

Q = 1,84 X 10 - 5 m 3 / s

Para óleo castor que tem = 0,25   N . s / m ² e ρ = 2090   k g / m ³

Q = 2300 . π . 0,0075.0,25 4.2090

Q = 1,62 X 10 - 3 m 3 / s

Passo 3

O máximo gradiente de pressão pode ser encontrado pela fórmula da vazão:

Q = π ∆ p D 4 128 μ L

∆ p = 128 . μ . L . Q π . D 4

Logo, para querosene, temos:

∆ p = 128.1,1 X 10 - 3 . 0,25.1,84 X 10 - 5 π . 0,0075 4

∆ p = 65 P a

Logo, para óleo castor, temos:

∆ p = 128.0,25.0,25.1,62 X 10 - 3 π . 0,0075 4

∆ p = 1303797 P a = 1,30   M P a

Passo 4

Essa analogia para de funcionar quando o valor passa o máximo porque o número de Reynolds ultrapassa o valor de 2300 e o escoamento se torna turbulento, então a resistência não é mais linear com a vazão.

Resposta

∆ p = 65 P a       ;         ∆ p = 1,30   M P a

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