Enunciado

Um cilindro, com 30   m m de diâmetro e 150   m m de comprimento, é aquecido em um grande forno cujas paredes se encontram a 1000   K , enquanto ar a 400   K e a uma velocidade de 3   m / s circula no seu interior. Estime a temperatura do cilindro em regime estacionário nas condições especificadas a seguir.

(a) O escoamento é cruzado ao cilindro e sua superfície é difusa e cinza com uma emissividade de 0,5 .

(b) O escoamento é cruzado ao cilindro, porém sua superfície é espectralmente seletiva com α λ =   0,1 para λ   ≤   3   μ m e α λ =   0,5 para λ   >   3   μ m .

(c) A superfície do cilindro está posicionada de tal forma que o escoamento de ar é longitudinal e sua superfície é difusa e cinza.

(d) Nas condições da parte (a), calcule e represente graficamente a temperatura do cilindro como uma função da velocidade do ar para 1   ≤   V   ≤   20   m / s .

Passo 1

Fala aii, turubom? Nessa questão nós temos um fluxo de ar sobre um cilindro colocado dentro de um forno grande. E queremos encontrar a temperatura no estado estacionário do cilindro quando difuso e cinza com ε   =   0,5 .

Além também da temperatura no estado estacionário quando a superfície possui propriedades espectrais e a temperatura no estado estacionário do cilindro cinza difuso se o fluxo de ar é paralelo ao eixo cilíndrico. Vamos lá!

Passo 2

Para resolver essa questão vamos assumir que:

(1) O cilindro é isotérmico;

(2) As paredes do forno são isotérmicas e com uma área muito grande em comparação com o cilindro;

(3) Estamos em condições de estado estacionário.

Quando a superfície do cilindro é cinza e difusa com ε   =   0,5 , o balanço energético é da forma,

q r a d ' ' + q c o n v ' ' = 0

Então,

ε σ T s u r 4 - T s 4 - h - T s - T ∞ = 0

Passo 3

O coeficiente de transferência de calor, h - , pode ser estimado a partir da correlação de Churchill-Bernstein do capítulo 7,

N u D - = h D - D k = 0,3 + 0,62   R e 1 2 P r 1 3 1 + 0,4 P r 2 3 1 4 1 + R e D 282000 5 8 4 / 5

Onde,

R e D = V D v = 3 m s × 30 × 10 - 3 m 52,69 × 10 - 6   m 2 / s = 1710

Então,

N u D - = 20,8

h D - = 32,5 W m 2 . K

Usando esse valor de h -   na expressão do balanço energético, obtemos,

0,5 × 5,67 × 10 - 8 W m 2 . K 4 1000 4 - T s 4 K 4 - 32,5 W m 2 . K T s - 400 K = 0

T s ≈ 839   K

Passo 4

Quando o cilindro tem um comportamento espectralmente seletivo, o balanço de energia é escrito como,

α G - ε E b T s - q c o n v ' ' = 0

Onde,

G = E b T s u r

Com,

α = ∫ 0 ∞ α λ G λ d λ G

α = 0,1 × F ( 0 → 3 μ m ) + 0,5 1 - F 0 → 3 μ m = 0,1 × 0 , 273 + 0 , 5 1 - 0 , 273 = 0 , 391

Usando a tabela 12.1 para λ   T = 3 × 1 0 00 = 30 00 μ m . K ,   F ( 0 → 3 μ m ) = 0 , 273

Supondo que T s seja tal que a emissão na região espectral λ   < 3   μ m seja desprezível, o balanço energético se tornará,

0 , 391 × 5,67 × 10 - 8 W m 2 . K 4 1000 4 K 4 - 0,5 × 5,67 × 10 - 8 W m 2 . K 4 T S 4 K 4 - 32,5 W m 2 . K T s - 400 K = 0

T s ≈ 770   K

Note que, para λ T   =   3   ×   770   =   2310   μ m ⋅ K ,   F ( 0   →   λ )   ≈   0,11 . Então, a suposição de ε   =   0,5 é aceitável. Observe que o valor de h - baseado em T f   =   600   K também é aceitável.

Passo 5

Quando o cilindro é cinza difuso com fluxo de ar na direção longitudinal, o comprimento característico da convecção é diferente. Suponha que as condições possam ser modeladas como fluxo sobre uma placa plana de L   =   150   m m . Com

R e L = V L v = 3 m s × 150 × 10 - 3   m 52,69 × 10 - 6 m 2 s = 8540  

N u L - = h - L k = 0,664   R e L 1 / 2 P r 1 / 3 = 0,644 8540 1 2 0,685 1 3 = 54,1

h - = 54,1 × 0,0469 W m . K 0,150 m =     16,9 W m 2 . K

O balanço de energia agora se torna,

0,5 × 5,67 × 10 - 8 W m 2 . K 4 1000 4 - T s 4 K 4 - 16,9 W m 2 . K T s - 400 K = 0

T s ≈ 8 50   K

Resposta

  1. T s ≈ 839   K
  2. T s ≈ 770   K
  3. T s ≈ 850   K
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