Enunciado

Considere a folha metálica delgada que atua como malha de aceleração ( k   =   40   W / ( m   ·   K ) ,   α   =   3   ×   10 - 5   m 2 / s ,     ε   =   0,45 ) , descrita no Problema 4.72. Desenvolva um modelo implícito de diferenças finitas para a folha, que possa ser usado para os seguintes propósitos.

(a) Admitindo que a folha esteja a uma temperatura uniforme de 300 K quando a fonte do feixe de íons é ativada, obtenha um gráfico que mostre o histórico da temperatura no seu ponto intermediário. Em que instante do tempo esse ponto na folha atinge uma temperatura que se encontra a menos de 1 ° C do seu valor no regime estacionário?

(b) A folha está operando sob condições de regime estacionário quando, de repente, o feixe de íons é desativado. Obtenha um gráfico do histórico da temperatura no ponto intermediário da folha no período subsequente. Quanto tempo é necessário para que o ponto mais quente na folha se resfrie até 315   K , uma condição segura para o toque?

Passo 1

Questão de software (amo???) hahahaha! Mas a questão deixa bem em aberto qual técnica numérica a gente pode usar... então vai de Excel até Matlab. Eu vou usar o IHT. Mas não se preocupem, o fundamento que vamos usar é bem fácil.

Passo 2

(a) As equações de diferenças finitas para a malha de 10 nós mostrada acima podem ser obtidas usando a Equação de Diferenças Finitas IHT, One-Dimensional, Ferramenta de Superfícies Estendidas Transientes. Primeiro, vamos usar a função FDE para identificar cada nó. Podemos representar pela equação pelo coeficiente de radiação linearizada:

h 1 = ε σ T 1 + T s u p T 1 2 + T s u p 2

Podemos setar a taxa para folha metálica como:

q a ' ' = q o ' ' / 2

Isso porque o íon é incidente somente no topo da folha metálica. Resolvendo tudo isso, demos que o histórico de temperatura-tempo da posição de midspan é mostrado abaixo. O tempo para alcançar dentro de 1 K da temperatura de estado estacionário (374,1 K) é

T 10 t h = 373   K ,     t h = 136   s

Passo 3

(b) O mesmo espaço de trabalho IHT pode ser usado para obter o histórico de tempo de temperatura para o processo de resfriamento, fazendo só isso galera: (1) setar q s ' ' = 0 , (2) especificar as condições iniciais como a distribuição de temperatura estável (K) tabelada abaixo,

(3) ao executar a integração da variável de tempo independente, defina o valor inicial como 200   s   (para valores mais adequados a questão) e (4) salve os resultados do processo de aquecimento no conjunto de dados A . O histórico de tempo de temperatura para os processos de aquecimento e resfriamento pode ser feito usando os resultados do Data Browser dos Conjuntos de Dados de Trabalho e A. O tempo necessário para que o intervalo médio atinja a temperatura de segurança ao toque é

T 10 t c = 315   K ,     t c = 73   s

Plotando esse gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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