Enunciado

Considere um leito fixo operando nas condições do Problema 5.12, mas com Pirex (ρ = 2225 kg/m³, c = 835 J/(kg · K), k = 1,4 W/(m · K)) sendo usado no lugar do alumínio. Quanto tempo leva para uma esfera perto da entrada do sistema acumular 90% da energia térmica máxima possível? Qual é a temperatura correspondente no centro da esfera?

Passo 1

Tá legal! A primeira coisa que devemos fazer é pegar os dados do Problema 5.12, onde nós temos:

h = 75   W / m 2 K

r o = 0,0375   m

T i = 25   ° C

T g = 300   ° C

Então, calculando o número de Biot para o nosso caso, temos:

B i = h r o 3 k = 75 0,037 5 3 1,4 → B i = 0,67

Então, não poderemos usar o método da capacitância global, já que o número de Biot não é pequeno o suficiente. Vamos então usar a aproximação para condução unidimensional em uma esfera.

Passo 2

Para isso vamos utilizar a equação 5.55 vista nesse capítulo, onde temos:

θ o * = ξ 1 3 3 sen ⁡ ξ 1 - ξ 1 cos ⁡ ξ 1 1 - Q Q o

Então, vamos precisar das constantes ξ 1 e C 1 que se encontram na tabela 5.1, para isso, precisamos antes calcular o número de Biot, então, teremos:

B i = h r o k = 75 0,0375 1,4 → B i = 2,01

Então, para esse número de Biot, temos as seguintes constantes:

ξ 1 = 2,03

C 1 = 1,48

Então, substituindo os valores conhecidos na equação para θ o * , temos:

θ o * = 2,03 3 3 sen ⁡ 2,03 - 2,03 cos ⁡ 2,03 1 - 0,9 Q o Q o → θ o * = 0,155

Então, como temos que θ o * pode ser escrito como:

θ o * = T o - T g T i - T g

Isolando a temperatura no centro, temos:

T o = θ o * T i - T g + T g

Substituindo os valores conhecidos, temos:

T o = 0,155 25 - 300 + 300 → T o = 257,3   ° C

Passo 3

Agora, da equação 5.53c vista nessa seção, que é dada por:

θ * = C 1 exp ⁡ - ξ 1 2 F o

Isolando F o dessa equação, chegamos em:

θ * C 1 = exp ⁡ - ξ 1 2 F o → ln ⁡ θ * C 1 = - ξ 1 2 F o

F o = - 1 ξ 1 2 ln ⁡ θ * C 1

Calculando F o , chegamos em:

F o = - 1 2,03 2 ln ⁡ 0,155 1,48 → F o = 0,5475

Então, como temos F o > 0,2 , a solução aproximada é válida, então, através da equação exata de F o , que é dada por:

F o = α t r o 2 = k t ρ c r o 2

Isolando o tempo dessa equação, temos:

t = F o ρ c r o 2 k

Substituindo os valores conhecidos, nós chegamos no tempo necessário para acumular 90% da energia térmica máxima possível:

t = 0,5475 2225 835 0,0375 2 1,4 → t = 1021,8   s

Resposta

t = 1021,8   s

T o = 257,3   ° C

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