Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa - Capítulo 5.Problemas - Ex. 67

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Como parte de um processo de tratamento térmico, bastões cilíndricos de aço inoxidável 304 com 100 mm de diâmetro são resfriados a partir de uma temperatura inicial de 500°C pela sua suspensão em um banho de óleo a 30°C. Se um coeficiente de transferência de calor por convecção de 500 W/(m2 · K) for mantido pela circulação do óleo, quanto tempo leva para o eixo central dos bastões atingir uma temperatura de 50°C, quando então ele é retirado do banho? Se 10 bastões de comprimento L = 1 m forem processados por hora, qual é a taxa nominal na qual energia deve ser retirada do banho (a carga de resfriamento)?

Passo 1

Vamos analisar o enunciado juntos e entender o que o problema quer de você.

Temos um bastão cilíndrico de aço inoxidável 304 sendo resfriada em um banho de óleo. Temos dois cálculos para realizar, que eu vou explicar aí embaixo.

Em primeiro lugar, temos uma transferência de calor do cilindro para o fluido. Se a gente supor tempos muito longos ( F o > 0,2 ) podemos calcular a temperatura adimensional no centro ( r * = 0 ) a partir da equação:

ϴ 0 * = T 0 - T ∞ T i - T ∞ =   C 1 e x p ⁡ ( - ζ 1 ² F o )

Sendo   C 1 e ζ 1 coeficientes que podem ser calculados a partir da Tabela 5.1, F o o adimensional Número de Fourier, T 0 a temperatura no centro do cilindro, T i a temperatura inicial e T ∞ a temperatura do ar.

A partir dessa equação, iremos calcular o tempo necessário para eixo central dos bastões atingir uma temperatura de 50 ° C .

Depois, devemos calcular a quantidade de calor a partir da equação:

Q = ρ c p V ( T i - T ∞ ) 1 - 2 ϴ 0 * ζ 1 J 1 ( ζ 1 )

Depois, devemos calcular a taxa de calor dos dez bastões, devemos utilizar a seguinte equação:

q ˙ =   10 Q t

Onde t é o tempo que iremos ter calculado.

Antes de prosseguir, devemos buscar algumas propriedades para o aço inoxidável 304 na Tabela A.1 (página 624):

k   =   14,9   W m . K ρ = 7900   k g m ³     c p = 477 J ( k g   ·   K ) α   =   3,95   x 10 - 6 m 2 s

Agora, pra gente não se perder, vamos guardar as propriedades que vamos usar nos próximos passos:

T i   =   500 ° C ,   T ∞ = 30   ° C   e   T 0 = 50   ° C R = 100   m m   2 = 50   m m = 0,05   m L = 1   m h   =   500 W m ²   ·   K

Passo 2

Primeiro, devemos calcular o número de Biot para o problema:

B i =   h R k =     500 W m ²   ·   K 0,05   m       14,9   W m . K ≅   1,68  

Vamos agora na Tabela 5.1 para calcular os valores dos coeficientes de   C 1 e ζ 1 parao cilindro. Como não temos   B i = 1,68   , devemos fazer uma interpolação entre B i = 1,0 e B i = 2,0 :

B i   = 1,0 →   ζ 1 = 1,2558     C 1 =   1,2071

B i   = 2,0 →   ζ 1 = 1,5994       C 1 = 1,3384

Portanto, interpolando:

B i   = 1,68 →   ζ 1 = 1,4894     C 1 = 1,2964

Vamos deixar o número de Fourier em função de t :

F o = α t R ² =   3,95   x 10 - 6 m 2 s t ( 0,05   m ) ² = 0,00158 t

Vamos substituir os valores que encontramos na primeira equação que deduzimos no Passo 1:

ϴ 0 * = 1,2964 exp ⁡ - 1,4894 2 0,00158 t = ( 1,2964 ) exp ⁡ - 0,0035 t

Além disso, devemos lembrar que:

ϴ 0 * = T 0 - T ∞ T i - T ∞ =   50   ° C - 30   ° C 500   ° C - 30   ° C = 0,0426

Igualando os dois resultados:

( 1,2964 ) exp ⁡ - 0,0035 t =   0,0426   → exp ⁡ - 0,0035 t = 0,0329

Vamos aplicar l n em ambos os lados da equação:

l n ⁡ ( exp ⁡ - 0,0035 t =   l n ⁡ ( 0,0329 ) → - 0,0035 t = - 3,4142   → t = 975,49   s

Vamo agora calcular o número de Fourier pra confirmar que nossa suposição de tempos longos tá certa:

F o = 0,00158 975,49   s = 1,54 > 0,2

Logo, nossa suposição estava certa.

Passo 3

Agora, vamos calcular a quantidade de calor transferida:

Q = 7900   k g m 3 477 J k g   ·   K π 0,05   m 2 1   m ( 500   ° C - 30   ° C ) 1 - 0,057 J 1 ( ζ 1 )

Q = 13910,2 1 - 0,057 J 1 ( 1,4894 )

A função J 1 é a Função de Bessel de Primeira Ordem, e seu valor pode ser encontrado na Tabela B.4 (página 654).

Como não temos um valor de J 1 1,4894 devemos interpolar entre J 1 1,4 e J 1 1,5 :

J 1 1,4 = 0,5419   J 1 1,5 = 0,5579 → J 1 1,4894 = 0,5562

Portanto, temos que a quantidade de calor transferida é:

Q = 1 , 39 x 10 7 1 - ( 0,057 ) ( 0,5562 ) = 1 , 35 x 10 7   J

Agora, pra finalizar, vamos calcular a taxa de calor dos dez bastões:

q ˙ =   10 ( 1,35 x 10 7   J ) 975,49   s = 138   k W

Fechou? ;)

Resposta

O tempo necessário para eixo central dos bastões atingir uma temperatura de 50 ° C é t = 975,49   s .

A taxa nominal na qual energia deve ser retirada do banho é q ˙ =   138   k W .

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