Enunciado

Considere uma parede com 5 m de altura, 8 m de comprimento e 0,22 m de espessura, cuja seção transversal representativa é a fornecida na figura. As condutividades térmicas dos vários materiais utilizados, em W m K , são k A = k F = 2 ,     k B = 8 ,     k C = 20 ,   k D = 15   e   k E = 35 . As superfícies esquerda e direita da parede são mantidas em temperaturas uniformes de 300°C e 100°C, respectivamente. Supondo que a transferência de calor através da parede seja unidimensional, determine:

  1. A taxa de transferência de calor através da parede;
  2. A temperatura no ponto em que as seções B, D e E se encontram;
  3. A queda de temperatura na seção F. Desconsidere qualquer resistência de contato nas interfaces.

Passo 1

Mais uma que dá medo até de olhar, mas com calma nós vamos!

Começamos como sempre desenhando:

Na letra a nós vamos precisar de todas as resistências:

R 1 = R A = L k A A

R 3 = R B = L k A B

R 2 = R 4 = R C = L k A C

R 5 = R D = L k A D

R 6 = R E = L k A E

R 7 = R F = L k A F

Para calcularmos cada uma vamos precisar das suas áreas. Fácil, não é?

Só olharmos na figura a altura e considerarmos um comprimento representativo de 1m:

A A = A F = 0,12   m × 1 m = 0,12   m 2

A B = A C = 0,04   m × 1 m = 0,04   m 2

A D = A E = 0,06   m × 1 m = 0,06   m 2

Lançando os dados:

R 1 = 0,01   m 2 W m . K × ( 0,12   m 2 ) = 0,04 K W

R 3 = 0,05   m 8 W m . K × ( 0,04   m 2 ) = 0 , 16 K W

R 2 = R 4 = 0,05   m 20 W m . K × ( 0,04   m 2 ) = 0,0625   K W

R 5 = 0,1   m 15 W m . K × ( 0,06   m 2 ) = 0,11 K W

R 6 = 0,1   m 35 W m . K × ( 0,06   m 2 ) = 0,05 K W

R 7 = 0,06   m 2 W m . K × ( 0,12   m 2 ) = 0,25 K W

Sabemos que duas placas de C e uma de B estão em paralelo entre si, assim como uma de D e E, certo?

1 R 234 = 1 R 2 + 1 R 3 + 1 R 4

1 R 56 = 1 R 5 + 1 R 6

Isolando e substituindo:

R 234 = 1 1 R 2 + 1 R 3 + 1 R 4 = 1 1 0,0625   K W + 1 0,16 K W + 1 0,0625   K W = 0,026   K W

R 56 = 1 1 R 5 + 1 R 6 = 1 1 0,11 K W + 1 0,05 K W = 0,033   K W

E agora eles estão em série com as demais, né?

R T = R 1 + R 234 + R 5 6 + R 7

R T = 0,35 K W

Para a taxa de calor nós já estamos carecas de saber como calcular, né verdade?

Q ˙ = ∆ T R T

Substituindo:

Q ˙ = 300 ° C - 100 ° C 0,35 K W

Como a variação em graus Celsius é a mesma que a variação em kelvin:

Q ˙ = 569,7   W

Com relação à área representativa:

Q ˙ = 569,7   W   0 , 12   m 2 = 4747,8 W m 2

Como a cada intervalo de 0 , 12   m 2 a estrutura da parede se repete, para a parede total de 8 m de comprimento e 5 m de altura a troca total de calor será:

Q ˙ = 4747,8 W m 2 × 5   m × 8   m = 1 , 9 × 10 5   W

Agora vamos para a letra b !!

Passo 2

Bom galera, esta é bem legal, nós queremos a temperatura que encontramos na parede onde as seções B, D e E se encontram.

Aqui nós temos uma nova resistência total, a resistência de A em série com a resistência 234:

R T . b = R 1 + R 234

R T . b = 0 , 07 K W

Como a variação em Celsius e Kelvin são iguais para nós fica mais fácil usar:

R T . b = 0,07 ° C W

Como a taxa de calor é a mesma:

Q ˙ = T i - T R T . b

Isolando a temperatura final:

T = T i - Q ˙ R T . b

Substituindo:

T = 300 ° C - ( 569,7   W ) 0,07 ° C W

T = 261,4   ° C

A b foi molezinha !!

Passo 3

A letra c é bem parecida com a b, nós queremos a queda de temperatura em F, isso só é possível usando a fórmula do calor e a resistência que essa seção impõe à transferência:

Q ˙ = ∆ T R F

Isolando a variação:

∆ T = Q ˙ R F

Já sabemos todos os dados, então só precisamos substituir:

∆ T = 569,7   W × 0,25 K W

∆ T = 142,4   K

Ou melhor:

∆ T = 142,4   ° C

Tranquilinha?!

Resposta

  1. 1,9 × 10 5   W ;
  2. 261,4   ° C ;
  3. 142,4   ° C .
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