Enunciado

Considere o seguinte campo de velocidade permanente, tridimensional em coordenadas cartesianas: V →   =   ( u ,   v ,   w )   =   a x y 2   —   b i →   +   c y 3 j →   +   d x y k → , onde a, b,c ,ed são constantes. Sob que condições esse campo de escoamento é incompressível?

Passo 1

Vamos lá! A gente quer veridicar se o campo de velocidade V → é ou não incompressível, para isso ele tem que satisfazer a equação da continuidade:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Os componentes de velocidade x , y   e   w são respectivamente:

u = a x y 2   —   b

v = c y 3

w = d x y

Passo 2

Agora a gente tem que derivar para poder substituir na equação da continuidade:

∂ u ∂ x = a y 2

∂ v ∂ y = 3 c y 2

∂ w ∂ z = 0

Passo 3

Substituindo, temos:

a y 2 + 3 c y 2 = 0

Arrumando:

y 2 a + 3 c = 0

a + 3 c = 0

a = - 3 c

Logo, para que o campo de escoamento seja incompressíve, temos que ter:

a = - 3 c

Resposta

Para que o campo de escoamento seja incompressíve, temos que ter: a = - 3 c

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