Enunciado

Dado o campo de velocidades do escoamento plano de um fluido ideal incompressível:

v x = 2 x 2 2 - t - 6 x ⋅ f y , t ⋅ ln ⁡ t

v y = - 6 x 2 y   2 - t + 2 y 3 ( 2 - t )

  1. Determinar f ( y , t ) para que o escoamento seja possível
  2. Com f y , t determinada, obter a função Ψ quando t = 1 s
  3. Se possível, determinar a função ϕ

Passo 1

Item A)

A questão nos afirma que o escoamento é incompressível. Então, para este escoamento ser possível vamos precisar garantir que o escoamento seja incompressível! Mas, como fazemos isso?

A equação da continuidade afirma que para um escoamento ser incompressível o divergente de sua velocidade deve ser zero!

d i v   v → = 0

Então, vamos calcular o divergente do nosso escoamento:

d i v   v → = ∂ v x ∂ x + ∂ v y ∂ y + ∂ v z ∂ z = 0

∂ 2 x 2 2 - t - 6 x ⋅ f y , t ⋅ ln ⁡ t ∂ x + ∂ ( - 6 x 2 y   2 - t + 2 y 3 ( 2 - t ) ) ∂ y + ∂ v z ∂ z = 0

4 x 2 - t - 6 f y , t ln ⁡ t - 6 x 2 2 - t + 6 y 2 2 - t = 0

Vamos organizar essa bagunça:

f y , t ⋅ 6 ln ⁡ t = 2 - t 4 x - 6 x 2 + 2 - t ( 6 y 2 )

Repare que f y , t é função apenas de y , então não existe maneira de a função acima ser possível e não podemos garantir que o escoamento seja incompressível. Então, devido as condições impostas pela questão, esse escoamento não é possível!

Como o escoamento não é possível, não podemos resolver os itens b ) e c )

Resposta

  1. O escoamento não é possível.
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um modelo CFD do escoamento incompressível permanente bidimensional imprimiu os valores da função potencial de velocidade ϕ (x, y), em m²/s, em cada um dos quatro cantos de uma pequena célula de 10 cm
Mostre que o escoamento de Couette linear entre placas na Figura 1.6 tem uma função corrente, mas não tem potencial de velocidade. Qual é a razão disso?
Considere a seguinte função bidimensional f (x, y):f =A x 3 + B x y 2 + C x 2 + De mq u eA 0 (a) Sob que condições, se houver alguma, sobre (A, B, C, D) essa função pode ser um potencial de velocidade
Um escoamento incompressível bidimensional é definido por u = K y x 2 + y 2 ; v = K x x 2 + y 2 em que K = constante. Esse escoamento é irrotacional? Em caso afirmativo, encontre seu potencial de velo
Um escoamento permanente, bidimensional, tem o seguinte potencial de velocidade em coordenadas polares: ϕ = C r c o s θ + K l n r em que C e K são constantes. Determine a função correnteψ ( r ,θ ) par