Enunciado

Seja Ψ = 9 + 6 x - 4 y + 7 x y .

  1. Verificar se essa função pode ser a função de corrente de um fluido inompressível.
  2. Verificar se o escoamento é irrotacional
  3. Determinar a velocidade no ponto (0,0)

Passo 1

Primeiro, vamos determinar a função de velocidade deste escoamento utilizando a equação 11.32:

v x = ∂ Ψ ∂ y = ∂ ( 9 + 6 x - 4 y + 7 x y ) ∂ y ⇒ v x = - 4 + 7 x

v y = - ∂ Ψ ∂ x = - ∂ 9 + 6 x - 4 y + 7 x y ∂ x ⇒ v y = - 6 - 7 y

Assim, a função de velocidade deste escoamento é dada por:

v → = - 4 + 7 x e → x + - 6 - 7 y   e → y

Passo 2

Item A)

Pela equação da continuidade, para que um escoamento seja incompressível ele deve respeitar a seguinte relação:

d i v   v → = 0

Então, vamos calcular o divergente do nosso escoamento:

d i v   v → = ∂ v x ∂ x + ∂ v y ∂ y + ∂ v z ∂ z

Como o fluido não escoa na direção z ,   então v z = 0

d i v   v → = ∂ - 4 + 7 x ∂ x + ∂ - 6 - 7 y ∂ y

d i v   v → = 7 - 7

d i v   v → = 0

Este é um escoamento incompressível!

Passo 3

Item B)

Pela análise de movimento de uma partícula fluida, sabemos que um escoamento será irrotacional se ele respeitar:

r o t   v → = 0

Pela equação da página 286, podemos deduzir que para um movimento plano em x y o rotacional é dado por:

r o t   v → = d v y d x - d v x d y

r o t   v → = ∂ - 6 - 7 y ∂ x - ∂ - 4 + 7 x ∂ y

r o t   v → = 0

O escoamento é irrotacional!

Passo 4

Item C)

Como nós já temos a função da velocidade:

v → = - 4 + 7 x e → x + - 6 - 7 y   e → y

Basta aplicar para o ponto 0 ; 0

v → = - 4 + 0 e → x + - 6 - 0   e → y

v → = - 4 e → x - 6   e → y

Resposta

  1. Sim
  2. Sim
  3. v → = - 4 e → x - 6   e → y
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