Enunciado

Demonstre que as linhas de corrente ψ r , θ em coordenadas polares das Equações 8.10 são ortogonais às linhas equipotenciais ϕ r , θ .

Passo 1

E aí, tudo bem? Bora matar essa questão rapidinho!

A inclinação das linhas de corrente pode ser representada por uma derivada. Assim:

d r r   d θ l i n h a   d e   c o r r e n t e = v r v θ = ∂ ϕ / ∂ r ( 1 / r ) ( ∂ ϕ / ∂ θ )

Lembrando que:

1 r ∂ ϕ ∂ θ = - ∂ ψ ∂ r

E:

∂ ϕ ∂ r = 1 r ∂ ψ ∂ r

Agora vamos substituir na primeira formula:

∂ ϕ ∂ r 1 r ∂ ϕ ∂ θ = 1 r ∂ ψ ∂ θ - ∂ ψ ∂ r

Assim chegamos na seguinte formula:

d r r   d θ l i n h a   d e   c o r r e n t e = - 1 d r r d θ l i n h a   d e   p o t ê n c i a

Como a inclinação da linha de corrente é equivalente a:

- 1 i n c l i n a ç ã o   l i n h a   p o t e n c i a l

As linhas vão ser ortogonais!

Isso é tudo pessoal, conseguimos mais uma! \o/

Resposta

Como a inclinação da linha de corrente é equivalente a:

- 1 i n c l i n a ç ã o   l i n h a   p o t e n c i a l

As linhas vão ser ortogonais!

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