Enunciado

Determine (a) a força hidrostática total sobre a superfície curva AB da Figura P2.84 e (b) sua linha de ação. Despreze a pressão atmosférica e considere a superfície com largura unitária.

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

A primeira ideia que a gente tem que ter da questão é de qual assunto ela faz parte. Esse problema em específico é referente à seção 2.6 do livro, chamada “Forças sobre superfícies curvas”.

Pra entender a questão, dá uma olhada na figura do enunciado. Temos uma superfície de formato z = x ³ com uma largura (imagine uma outra coordenada “entrando” no papel) b = 1   m , como aponta o enunciado, e de altura também 1 m .

A questão quer que a gente encontre a força hidrostática total e a sua linha de ação. Para isso, devemos descobrir as componentes horizontal e vertical da força hidrostática agindo, respectivamente F H e F V , como demonstra a imagem abaixo:

Nos passos seguintes, vamos descobrir como calcular cada uma das componentes das forças hidrostáticas, suas linhas de aplicação e, no fim, descobrir a força hidrostática total aplicada na superfície.

Então, vamo lá resolver essa questão juntos!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a componente horizontal F H . Para isso, devemos imaginar uma projeção em um ângulo de 90° com relação à direção dessa força, como na figura abaixo:

Observe que essa projeção é na verdade um retângulo, de base 1   m e altura 1   m . Sabendo disso, podemos definir a equação para calcular a componente vertical da força hidrostática:

F H =   γ h C G A p r o j

Sendo: γ o peso específico, que para água à temperatura ambiente é 9790 N m 3 ; h C G a distância do centro de massa com relação à superfície livre, que para um retângulo é metade da altura do retângulo; e A p r o j a área do retângulo projetado.

Dessa forma, temos:

F H = 9790   N m 3 1 2   m   1   m × 1   m = 4.895   N  

Passo 3

Agora vamos calcular a componente vertical F V . Nesse caso, ela poderá ser calculada a partir do peso da água acima da barragem. Para entender como faremos isso, olhe a seguinte figura:

Dá pra perceber que é o peso da água ao longo dessa figura que queremos calcular? Então, essa figura nada mais é a função 1 - x ³ .

Sendo assim, podemos calcular o peso de água calculando a área dessa curva que encontramos. Mas isso é, por definição, integrar essa curva. Logo, F V pode ser calculado como:

F V =   γ ∫ 0 1 1 - x ³ d x b

Note que a gente definiu o intervalo de integração como sendo de 0 a 1. Fizemos isso porque, pela natureza da curva, quando z = 1 , x ³ = 1 .

Resolvendo essa integral, podemos calcular F V :

F V = γ 3 4 b = 9790   N m 3 3 4 1   m = 7 . 343   N

Passo 4

E pra finalizar a questão, iremos calcular a força hidrostática total F   e o ângulo da sua linha de ação.

Primeiro, com as duas componentes F H e F V encontradas nos Passos 2 e 3, podemos calcular uma resultante F   a partir do módulo dessas componentes:

F =   F H 2 + F V 2 = 4.895   N   2 + 7.343   N 2 = 8.825   N

Podemos, então, representar essa resultante com a imagem:

Fazendo uma simples relação trigonométrica com o triângulo, podemos encontrar a resultante do ângulo α entre F H e F :

t g α = c a t e t o   o p o s t o c a t e t o   a d j a c e n t e = F V F H = 7.343   N   4.895   N = 1,5  

→   α = a r c t g 1,5   = 56,31 °

Ou seja, a linha de ação da força F faz um ângulo de 56,31 ° em relação à horizontal do eixo de coordenadas do problema.

Pronto, resolvemos a questão juntos!

Resposta

A força hidrostática total aplicada no ponto AB é F = 8.825   N     com sua linha de aplicação fazendo um ângulo de 56,31 ° com relação ao eixo horizontal de coordenadas.

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