Enunciado

O diâmetro de um tanque de água cilíndrico é D 0 e sua altura é H . O tanque é enchido com água e está aberto para a atmosfera. Um orifício de diâmetro D com uma entrada uniforme (ou seja, sem perdas) e aberto na parte inferior. Desenvolva uma relação para o tempo necessário para que o tanque (a) esvazie até a metade e (b) esvazie completamente.

Passo 1

Bom, vamos ver como isso fica em forma de diagrama (até porque facilita nossa vida ):

Para determinarmos a vazão, precisamos primeiramente saber qual é a velocidade, como não há componentes complexos a serem tratados, podemos aplicar a equação de Bernoulli!

Passo 2

Pelo nosso diagrama, podemos dizer que ambos os ponto 1 e 2 tem contato com a atmosfera, logo, P 1 = P 2 = P a t m . Além, disso, a velocidade no ponto 1 é aproximadamente V 1 ≅ 0 , uma vez que o tanque é largo em relação a saída. Por fim, o ponto 2 é de referência, ou seja, z 2 = 0 .

A partir da nossa analise, podemos substituir na equação:

0 2 g + z 1 = + V 2 2 2 g + 0

V 2 = 2 g z 1

Certo, agora como podemos achar o tempo como variável? Através da vazão que relaciona a altura com o tempo!

Passo 3

A vazão volumétrica é a área multiplicada pela velocidade ( v ˙ = A V 2 ). Assim, podemos expressar a quantidade de água saindo durante um instante de tempo através da derivação:

d v ˙ = v ˙ d t

A massa que sai é igual a que está dentro do tanque, pelo fato de esvaziar, ocorre uma diminuição de nível:

d v ˙ = - A d z

Igualando as expressões e substituindo as variáveis, temos:

v ˙ d t = - A d z

π D 2 4 × 2 g z 1 d t = - π D 0 2 4 d z

Isolamos o t :

d t = - D 0 2 D 2 1 2 g z 1 d z       ∴       d t = - D 0 2 D 2 2 g z 1 - 1 2 d z

Assim, podemos transformar em integral. Para isso, vale lembrar que o nosso intervalo de tempo é t < t < 0 e a altura z f < z < z i , logo:

∫ 0 t 1 d t = - D 0 2 D 2 2 g ∫ z i z f z 1 - 1 2 d z

Resolvendo isso:

t = - D 0 2 D 2 2 g 2 z z i z f = - D 0 2 D 2 2 g 2 z f - z i

Passo 4

Quando queremos que o tanque esvazie até a metade, quer dizer que z i = H e z f = H 2 , logo

t = 2 D 0 2 D 2 2 g z i - z f

t = 2 D 0 2 D 2 2 g H - H 2

E, para o item (b), esvaziando completamente, temos que z i = H e z f = 0 :

t = 2 D 0 2 D 2 2 g H - 0 = 2 D 0 2 D 2 2 g H

Prontinho!!

Resposta

(a) t = 2 D 0 2 D 2 2 g H - H 2

(b) t = 2 D 0 2 D 2 2 g H

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