Enunciado

Durante a II Guerra Mundial, Sir Geoffrey Taylor, um estudioso britânico da dinâmica dos fluidos, usou a análise dimensional para calcular a energia liberada pela explosão de uma bomba atômica. Ele supôs que a energia liberada E era uma função do raio R da onda de pressão, da massa específica do ar ρ e do tempo t . Organize essas variáveis em um único grupo adimensional, que podemos chamar de número de onda de explosão.

Passo 1

O enunciado fala que a energia E era função das outras variáveis na hora que a equação foi deduzida, mas depois pede para organizá-las de maneira que fiquem adimensional, ou seja, o lado direito da equação precisa ficar igual ao lado direito, então precisamos deixar o número de onda de explosão isolado. Vamos chamar esse número de n :

n = f ( E ,   R ,   ρ ,   t )

Passo 2

Agora pegamos a dimensão de cada grandeza:

E = M L 2 / T 2

R = L

ρ = M / L 3

t = T

E tentamos organizar elas de maneira a zerar o máximo possível de dimensões, por exemplo, como energia E tem T 2 no numerador, vamos precisar multiplicar ela por t 2 :

E t 2 = M L 2 T 2 T 2 = M L 2

Assim conseguimos fazer a dimensão de tempo sumir.

Para fazermos a dimensão de massa sumir do termo de energia, podemos dividir ele por ρ :

E t 2 ρ = M L 2 M / L 3 = L 5

E por fim, dividimos tudo por R 5 para fazer o que sobrou sumir também:

E t 2 ρ R 5

Passo 3

Assim, o número de onda fica:

n = E t 2 ρ R 5

E a equação é adimensional tanto na esquerda quanto na direita, então é homogênea.

Resposta

n = E t 2 ρ R 5

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