Enunciado

Durante a Segunda Guerra Mundial, sir Geoffrey Taylor, um engenheiro britânico especializado em mecânica dos fluidos, usou a análise dimensional para estimar a velocidade da onda de uma explosão de bomba atômica. Ele supôs que o raio R da zona de explosão era uma função da energia liberada E, da massa específica do ar ρ e do tempo t. Use o raciocínio da análise dimensional para mostrar como o raio da onda deve variar com o tempo.

Passo 1

Bem, vamos para mais um desafio juntos de análise dimensional? Fica tranquilo que vamos encarar essa juntos mais uma vez!!

Ora, ele diz que o R = f ( E , ρ , t ) , vamos então fazer o que ele disse de acordo com a análise dimensional!!

Como não sabemos quem é proporcional e muito menos quem é inversamente proporcional, vamos escrever dessa forma aí embaixo. Além disso, essas unidades juntas devem dar a unidade de comprimento que é o raio, certo?

R = E a ρ b t c = L

Passo 2

Agora temos que lembrar da unidade de energia, que costuma ser W, ou seja, J/s!!!

Mas lembrando que W é oriundo do produto entre força e distância, logo temos que:

E = W = N L = M L T - 2 L = M L 2 T 2

Lembrando dos outros parceirinhos ali da nossa análise:

ρ = M L - 3

t = { T }

Passo 3

R = E a ρ b t c = L

M L 2 T - 2 a M L - 3 b T c = M 0 L T 0

Para M:

a + b = 0

Para L:

2 a - 3 b = 1

Para T:

- 2 a + c = 0

Ao final, temos o seguinte sistema de equações:

a + b = 0

2 a - 3 b = 1

- 2 a + c = 0

Passo 4

a + b = 0

2 a - 3 b = 1

- 2 a + c = 0

Resolvendo o sistema, temos que a = - b e substituindo 2ª equação, temos:

- 2 b - 3 b = 1 → b = - 1 5

a = 1 5

c = 2 a = - 2 1 5 = - 2 5

Assim, temos:

R = E a ρ b t c = E 1 5 ρ 1 5 t 2 5 = E ρ t 2 1 5  

Resposta

R = E ρ t 2 1 5

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