Enunciado

Estimar o atrito na parede de tubos é uma das tarefas mais comuns na engenharia de fluidos. Para tubos circulares longos e rugosos em escoamento turbulento, a tensão de cisalhamento na parede tp é uma função da massa específica r, da viscosidade m, da velocidade média V, do diâmetro d do tubo e da rugosidade ε da parede. Assim, funcionalmente, podemos escrever tp = f (r, m, V, d, ε). (a) Usando análise dimensional, reescreva essa função na forma adimensional. (b) Um certo tubo tem d = 5 cm e ε = 0,25 mm. Para escoamento de água a 20°C, medidas mostram os seguintes valores de tensão de cisalhamento na parede:

Faça um gráfico desses dados usando a forma adimensional obtida em (a) e sugira uma fórmula de ajuste de curva. O seu gráfico revela a relação funcional completa obtida na parte (a)?

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

Nesse problema, temos que estimar o atrito na parede de um tubo rugoso.

A letra (a) nos pede para usar análise dimensional para escrever a função escrever τ p   =   f   ( ρ ,   μ ,   V ,   d ,   ε ) como um adimensional.

Já a letra (b) nos pede para utilizar uma tabela que demonstra os valores de tensão de cisalhamento em função da vazão volumétrica em L / m i n em um tubo de diâmetro d = 5   c m e rugosidade ε = 0,25   m m para traçar um gráfico utilizando a função adimensional obtida em (a).

Nos próximos passos eu vou te ajudar a resolver esse problema, então vem comigo!

Passo 2

Em primeiro lugar, iremos resolver a letra (a).

Vamos olhar de novo a função que define a tensão de cisalhamento na parede:

τ p   =   f   ( ρ ,   μ ,   V ,   d ,   ε )

Note que nessa função temos 6 variáveis e 3 dimensões primárias. Por análise dimensional, sabemos que isso quer dizer que teremos 3 grupos Pi.

Como esse é um problema bastante conhecido, temos escolhas muito bem sedimentadas pra esses adimensionais:

τ p ρ V ² = f ρ V d μ , ε d

O primeiro termo é o adimensional chamado de Coeficiente de atrito da parede, ou C f .

O segundo é o conhecidíssimo número de Reynolds, R e .

Por fim, o último adimensional é a rugosidade relativa, que não tem um nome, que não tem nenhum símbolo para representa-lo.

Sendo assim, a forma adimensional para a função apresentada no enunciado é:

C f = f R e , ε d

Passo 3

Pra finalizar a questão, vamo resolver a letra (b).

Nesse passo, iremos plotar um gráfico de C f em função do número de Reynolds R e .

Lembre que temos um tubo de diâmetro d = 0,05   m , o que significa que sua área é A = 0,002   m ² . Desta forma, podemos calcular as velocidades V com base nos valores de vazão volumétrica Q apresentados na Tabela que ilustra o problema.

Com as velocidades V calculadas, iremos calcular os números de Reynolds a partir de R e = V d / μ , considerandp ρ = 998   k g / m ³ e μ = 0,001   k g / m ∙ s .

A tabela abaixo demonstra os resultados cálculos que fizemos para cada uma das vazões volumétricas:

A partir da tabela montada, podemos traçar um gráfico de C f em função de R e :

Uma lei de potência para esse gráfico pode ser dada por C f = 3,7116 R e - 0,641 , com R 2 = 0,953 .

Note que para essa aplicação   ε / d é constante e igual 0,005 . Além disso, nossa correlação só é válida para números de Reynolds variando de 2361 a 22000 .

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

(a) A forma adimensional para a função apresentada no enunciado é C f = f R e , ε d

(b) Uma fórmula de ajuste de curva para o adimensional é C f = 3,7116 R e - 0,641 , com aplicação ε d = 0,005

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