Enunciado

Estudantes no laboratório de mecânica dos fluidos da universidade Penn State, nos Estados Unidos, usam um dispositivo muito simples para medir a viscosidade da água em função da temperatura. O viscosímetro, mostrado na Figura P3.138, consiste em um tanque, um tubo capilar longo vertical, uma cuba graduada, um termômetro e um cronômetro. Uma vez que o tubo tem um diâmetro muito pequeno, o escoamento permanece laminar. Como o tubo é bastante longo, as perdas de entrada são desprezíveis. Será mostrado no Capítulo 6 que a perda de carga do escoamento laminar em um tubo longo é dada por h p l a m i n a r =   ( 32 μ L V ) / ( ρ g d ² ), em que V é a velocidade média do escoamento. (a) Em um certo experimento, o diâmetro d, o comprimento L e a altura H do nível da água são conhecidos e a vazão volumétrica Q é medida com o cronômetro e a cuba graduada. A temperatura da água também é medida. A massa específica da água nessa temperatura é obtida pesando um volume d’água conhecido. Escreva uma expressão para a viscosidade da água em função dessas variáveis. (b) Aqui estão alguns dados reais de uma experiência: T =   16,5 ° C , ρ =   998,7   k g / m ³ , d =   1   m m , Q =   0,310   m L / s , L =   917   m m e H =   0,153   m . Calcule a viscosidade da água em kg/(ms), com base nesses dados experimentais. (c) Compare os resultados experimentais com valores publicados de m para essa temperatura e registre um erro percentual. (d) Calcule o erro percentual no cálculo de m caso um estudante esquecesse de incluir o fator de correção do fluxo de energia cinética na parte (b) acima (compare os resultados com e sem a inclusão do fator de correção do fluxo de energia cinética). Explique a importância (ou falta de importância) do fator de correção do fluxo de energia cinética em um problema como este.

Passo 1

Bora pra mais uma!!

Vamos considerar os pontos 1 e 2 a superfície do tanque e o bocal de descarga d’gua respectivamente.

Daí, considerando o fluido incompressível e escoamento em regime permanente, temos da equação da energia:

P 1 ρ g + α 1 V 1 2 2 g + Z 1 = P 2 ρ g + α 2 V 2 2 2 g + Z 2 + h p

Mas P 1 = P 2 = P a t m ; V 1 = 0 ; Z 1 - Z 2 = H + L e h p = 32 μ L V ρ g d 2 . Daí:

α 2 V 2 2 2 g + 32 μ L V ρ g d 2 = H + L

μ = H + L - α 2 V 2 2 2 g * ρ g d 2 32 L V

Substituindo V = Q A = 4 Q π d obtemos a expressão para a viscosidade do fluido:

  1. μ = H + L π ρ g d 4 128 L Q - α 2 ρ Q 16 π L

  2. Dos dados: T =   16,5 ° C , ρ =   998,7   k g / m ³ , d =   1   m m , Q =   0,310   m L / s , L =   917   m m e H =   0,153   m , obtemos para essas condições o fator de correção do fluxo de energia cinética α 2 ≈ 2,0 . Daí:
  3. μ = 0,153 m + 0,917 m π * ( 998 k g m 3 ) 9,8 m s 2   ( 0,001 m ) 4 128 L Q - 2 * 998 k g m 3 * 0,310 m L s * 3,1 * 10 - 7 m 3 1 m l 16 π * 0,917 m

    = 0,00105 k g m s

    Passo 2

  4. Da tabela A-1 do Apêndice A para água a 16,5 ° C é μ   ≈   1,11 * 10 - 3   k g m     s , então o erro percentual é:

    e = 0,00111 - 0,00105 0,00111 * 100 ≈ 5,4 %

  5. Se esquecermos o fator de correção de energia cinética α2 = 2,0 para fluxo laminar, o cálculo no item (b) resultaria em:

μ = 0,153 m + 0,917 m π * ( 998 k g m 3 ) 9,8 m s 2   ( 0,001 m ) 4 128 L Q - 998 k g m 3 * 0,310 m L s * 3,1 * 10 - 7 m 3 1 m l 16 π * 0,917 m

= 0,001056 k g m s

E o erro percentual seria de:

e = 0,00111 - 0,001056 0,00111 * 100 ≈ 4,8 %

Resposta

  1. μ = H + L π ρ g d 4 128 L Q - α 2 ρ Q 16 π L

  2. μ = 0,00105 k g m s

  3. O valor calculado é menor que o encontrado na tabela do livro. O erro percentual entre estes valores é de 5,4%.
  4. Neste caso, o erro percentual é 4,8%, esta pequena variação do erro se dá pelo fato do fator de correção do fluxo de energia cinética neste caso ser desprezível por se tratar de baixas velocidades no experimento.
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