Enunciado

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Experiências mostram que a queda de pressão para escoamento através de uma placa de orifício de diâmetro d montada em um trecho de tubo de diâmetro D pode ser expressa como Δ p = p 1 - p 2 = f ρ ,   μ ,   V _ ,   d ,   D . Organize alguns dados experimentais. Obtenha os parâmetros adimensionais resultantes.

Passo 1

Bom enunciado nos pede para organizar os dados experimentais e obter os parâmetros adimensionais...Humm…Vamos pensar sobre isso?

Sem desespero! Está tudo sob controle! Só vamos precisar lembrar do Teorema Pi de Buckingham, ele nos diz que podemos transformar uma equação de n parâmetros em uma relação correspondente entre n - m parâmetros adimensionais Π .

Então vamos começar separando nossos parâmetros, temos n = 6 :

Δ p ρ μ V D d

Passo 2

Agora vamos identificar o número mínimo de dimensões que podemos escrever os parâmetros que separamos no passo 1: Massa M , comprimento L e tempo t .

Show! Chegamos até aqui tranquilo, vamos continuar assim!

Agora vamos colocar as unidades correspondentes:

Δ p ρ μ V D d

M L t 2 M L 3 M L t L t L L

Nosso número de dimensões é r = 3 dimensões independentes.

Passo 3

Olhando para nosso quadrinho com as dimensões, vemos que nosso número mínimo de dimensões é m = 3 . Então já sabemos que r = m . Show!

Agora vamos calcular a quantidade de grupos adimensionais:

n - m = 3

Aí sim, hein?! Podemos então montar o seguinte:

Π 1 = Δ p * ρ a * V b * D c

M L t 2 * M L 3 a * L t b * L c = M 0 * L 0 * t 0

Agora analisando apenas os expoentes:

M :   1 + a = 0

L : - 1 - 3 * a + b + c = 0

t : - 2 - b = 0

Agora nos resta esse sisteminha para resolver, e vamos ficar com:

a = - 1 b = - 2 c = 0

Passo 4

Nossa equação para adimensionalizar vai ficar:

Π 1 = Δ p * ρ a * V b * D c

Π 1 = Δ p * ρ - 1 * V - 2 * D 0

Π 1 = Δ p * 1 ρ * 1 V 2 * 1

Π 1 = Δ p ρ V 2

Passo 5

Agora vamos fazer o mesmo para a segunda equação:

Π 2 = μ * ρ a * V b * D c

M L t * M L 3 a L t b L c = M 0 * L 0 * t 0

O sistema então será:

M : 1 + a = 0

L : - 1 - 3 * a + b + c = 0

t : - 1 - 1 * b = 0

Teremos como solução desse sistema que:

a = - 1 b = - 1 c = - 1

Então nós ficaremos com a equação da seguinte forma:

Π 2 = μ * ρ - 1 * V - 1 * D - 1

Π 2 = μ ρ V D

Uhull!! Arrasamos! Encontramos os dois grupos que irão adimensionalizar a função!

Resposta

Π 1 = Δ p ρ V 2

Π 2 = μ ρ V D

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