Enunciado

Considere o escoamento em um tubo de diâmetro D através de uma curva de raio Rc no tubo. A queda de pressão Δ p através da curva é uma função dessas duas escalas de comprimento mais a massa específica ρ , viscosidade μ e a velocidade média V do escoamento. (a) Use a análise dimensional para reescrever essa função em termos de grupos pi adimensionais. (b) Analisando os dados para essas perdas em curvas de tubos (Capítulo 6), a perda adimensional é frequentemente correlacionada com o número de Dean:

D e = R e D D 2 R c

A sua análise adimensional pode produzir um grupo semelhante? Se não, explique o porquê.

Passo 1

Bem, lerigou com mais um desafio de análise dimensional!!!!

(a) Ele fala que a queda de pressão é função desses parâmetros todos aqui ó:

Δ p = f ( D , R , μ , ρ , V )

Ou seja, temos n = 6 variáveis e j = 3 por causa das dimensões primárias (MLT), ou seja, temos n-j grupos pi. Vamos precisar encontrar os 3 grupos pi, show?

Δ p = f D , R , μ , ρ , V

Mas qual é a unidade mesmo de pressão? Pascal, certo? Mas pressão é o que mesmo? Hummmmmmmm força dividido pela área.

P = F L 2 = M L T - 2 L 2 = M L T 2

Os grupos pi serão:

Π 1 = ρ a μ b D c Δ p 1 = M 0 L 0 T 0

Π 2 = ρ a μ b D c R 1 = M 0 L 0 T 0

Π 3 = ρ a μ b D c V 1 = M 0 L 0 T 0

Passo 2

Encontrando os grupos pi!!!

Π 1 = ρ a μ b D c Δ p 1 = M 0 L 0 T 0

M L - 3 a M L - 1 T - 1 b L c M L - 1 T - 2 1 = M 0 L 0 T 0

Para M: a + b + 1 = 0

Para L: - 3 a - b + c - 1 = 0

Para T: - b - 2 = 0 → b = - 2

a + b + 1 = 0 → a - 2 + 1 = 0 → a = 1

- 3 a - b + c - 1 = 0 → - 3 + 2 + c - 1 = 0 → c = 3 - 2 + 1 → C = 2

Π 1 = ρ μ 2 D 2 Δ p

Nosso sistema ficou sendo:

c + d + e = 1

a + b - c - 3 d + e = - 1

c + e = 2

Opa, olha que maravilha, nossa terceira equação é uma soma que aparece na primeira, logo, podemos ter o valor de d!!!

d + 2 = 1 → d = - 1

Assim, temos que:

a + b - c + 3 + e = - 1

c + e = 2

d = - 1

Passo 3

Analogamente para pi2

Π 2 = ρ a μ b D c R 1 = M 0 L 0 T 0

M L - 3 a M L - 1 T - 1 b L c L 1 = M 0 L 0 T 0

Para M: a + b = 0

Para L: - 3 a - b + c + 1 = 0

Para T: - b = 0

Se b = 0, a = 0 e c = -1

Π 2 = R D

Agora para p3:

Π 3 = ρ a μ b D c V 1 = M 0 L 0 T 0

M L - 3 a M L - 1 T - 1 b L c L T - 1 1 = M 0 L 0 T 0

Para M: a + b = 0

Para L: - 3 a - b + c + 1 = 0

Para T: - b - 1 = 0

Se b = -1, a = 1

Logo, - 3 + 1 + c + 1 = 0 → c = 1

Π 3 = ρ μ D V = R e

Podemos dizer então que R D = f Π 1 ,   Π 3 = ρ μ 2 D 2 Δ p ,   R e

Passo 4

(b) Note que não conseguimos obter um número adimensional como D e = R e D D 2 R c

Isso se deve ao fato termos diferentes variáveis, e uma delas é a queda de pressão a qual não conseguiria se correlacionar com esse número adimensional acima.

Resposta

  1. R D = f Π 1 ,   Π 3 = ρ μ 2 D 2 Δ p ,   R e

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