Enunciado

Foi sugerido, no projeto de um “sprinkler” agrícola, que um elemento estrutural fosse mantido fixo por meio de um arame esticado ao longo da linha de centro de um tubo; acreditava-se que um arame relativamente fino teria pouco efeito sobre a queda de pressão para uma dada vazão. Usando o resultado do Problema 8.56, deduza uma expressão que dê a variação percentual em queda de pressão como uma função da razão entre o diâmetro do arame e o diâmetro do tubo para escoamento laminar. Trace um gráfico da variação percentual na queda de pressão como uma função da razão de raios k para 0,001 k 0,10.

Passo 1

O problema a ser avaliado exigirá o uso da expressão de vazão obtida na questão 8.56 (escoamento laminar completamente desenvolvido em espaço anular formado por dois cilíndricos, especificamente o tubo e o arame):

Q = - π R 4 8 μ ∂ p ∂ x 1 - k 4 - ( 1 - k 2 ) ln ⁡ 1 / k

A partir da expressão de Q é pedida a variação percentual de queda de pressão. Sabendo das características do escoamento (escoamento completamente desenvolvido em tubo), a queda de pressão ao longo do tubo é dada por:

∆ p   L = - ∂ p ∂ x

Já a variação de pressão pode ser escrita como:

V a r i a ç ã o   d a   q u e d a   d e   p r e s s ã o   = ∆ p   L k ≠ 0 - ∆ p   L k → 0 ∆ p   L k → 0

Passo 2

O cálculo da queda de pressão exigirá escrever o termo ∂ p / ∂ x a partir da expressão da vazão:

Q = - π R 4 8 μ ∂ p ∂ x 1 - k 4 - ( 1 - k 2 ) ln ⁡ 1 / k

- ∂ p ∂ x = 8 μ Q π R 4 1 - k 4 - ( 1 - k 2 ) ln ⁡ 1 / k  

Então, a queda de pressão ao longo do tubo, para k ≠ 0 é:

∆ p   L k ≠ 0 = 8 μ Q π R 4 1 - k 4 - ( 1 - k 2 ) ln ⁡ 1 / k

Já para k → 0 (valor de k tendendo a zero) a queda de pressão é expressa por:

∆ p   L k → 0 = 8 μ Q π R 4 1 - 0 4 - ( 1 - 0 2 ) ln ⁡ 1 / k

∆ p   L k → 0 = 8 μ Q π R 4 1 - 1 ln ⁡ 1 / k

O termo ln ⁡ 1 / k , quando k → 0 , é um valor que cresce tendendo ao infinito, de forma que:

1 ln ⁡ 1 / k k → 0 ≅ 0

Assim:

∆ p   L k → 0 = 8 μ Q π R 4

Passo 3

Calculando a variação percentual da queda de pressão:

V a r i a ç ã o   d a   q u e d a   d e   p r e s s ã o   = ∆ p   L k ≠ 0 - ∆ p   L k → 0 ∆ p   L k → 0

E sabendo as expressões de ∆ p   L k ≠ 0 e ∆ p   L k → 0 , tem-se que:

V a r i a ç ã o   d a   q u e d a   d e   p r e s s ã o = 8 μ Q π R 4 1 - k 4 - ( 1 - k 2 ) ln ⁡ 1 / k - 8 μ Q π R 4 8 μ Q π R 4

V a r i a ç ã o   d a   q u e d a   d e   p r e s s ã o   = 8 μ Q π R 4 1 1 - k 4 - ( 1 - k 2 ) ln ⁡ 1 / k - 1 8 μ Q π R 4

V a r i a ç ã o   d a   q u e d a   d e   p r e s s ã o = 1 1 - k 4 - ( 1 - k 2 ) ln ⁡ 1 / k - 1

Realizando o mínimo múltiplo comum:

V a r i a ç ã o   d a   q u e d a   d e   p r e s s ã o = 1 - 1 - k 4 - ( 1 - k 2 ) ln ⁡ 1 / k 1 - k 4 - ( 1 - k 2 ) ln ⁡ 1 / k

Passo 4

Em considerando k muito pequeno (conforme apresentado pelo enunciado) a expressão da variação de queda de pressão obtida no Passo 3 pode ser simplificada, pois:

k 2 ≈ 0

k 4 ≈ 0

Assim:

V a r i a ç ã o   d a   q u e d a   d e   p r e s s ã o   = 1 - 1 - 0 - ( 1 - 0 ) ln ⁡ 1 / k 1 - 0 - ( 1 - 0 ) ln ⁡ 1 / k

V a r i a ç ã o   d a   q u e d a   d e   p r e s s ã o   = 1 ln ⁡ 1 / k 1 - 1 ln ⁡ 1 / k

É possível reescrever o termo ln ⁡ 1 / k :

ln ⁡ 1 / k = ln ⁡ 1 - ln ⁡ k = - ln ⁡ k - ln ⁡ 1 = - ln ⁡ k

Então, conclui-se que para k muito pequeno a variação de queda de pressão é dada por:

V a r i a ç ã o   d a   q u e d a   d e   p r e s s ã o = 1 - ln ⁡ k 1 + 1 ln ⁡ k

V a r i a ç ã o   d a   q u e d a   d e   p r e s s ã o   = - 1 ln ⁡ k 1 + 1 ln ⁡ k

Considerando, em termos percentuais, a variação de queda de pressão é definida como:

V a r i a ç ã o   d a   q u e d a   d e   p r e s s ã o   ( % )   = - 1 ln ⁡ k 1 + 1 ln ⁡ k × 100

Passo 5

Considerando o intervalo de k para 0,001 k 0,10 (valor muito pequeno) é possível avaliar o comportamento da variação de queda de pressão com a alteração de k , segundo expressão obtida no Passo 4, conforme a Tabela e Figura que se seguem:

Resposta

Para k muito pequeno a expressão da variação percentual de queda de pressão é dada por:

V a r i a ç ã o   d a   q u e d a   d e   p r e s s ã o   ( % )   = - 1 ln ⁡ k 1 + 1 ln ⁡ k × 100

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