Enunciado

No funil da figura, escoa um líquido com o campo de velocidades v → = - v r ⋅ e r → .

A vazão varia linearmente de 1   m 3 / s até zero entre o instante inicia e o final, atingido após 2 min. Determinar:

  1. As componentes de velocidade
  2. A equação das trajetórias
  3. A aceleração

Passo 1

Item A)

Se a vazão varia linearmente de 1 à zero em 120 segundos, podemos presumir que sua função é

Q t = 1 - t 120

Aplicando a equação da continuidade:

Q = ∫ S C v → × n → d A

Como a velocidade é normal à área:

Q = ∫ S C v r d A

A área de saída é proporcional ao comprimento L e ao arco.

d A = L r d θ

Aplicando na integral com limites variando em 0 e 60 graus π 3

Q = ∫ 0 π / 3 v r ⋅ L r d θ  

Q = v r ⋅ L r ⋅ π 3 - 0

Q = v r L r π 3  

1 - t 120 = v r L r π 3  

A velocidade é:

v r = 3 π L r 1 - t 120

Passo 2

Item B)

Vamos utilizar coordenadas cilíndricas. Nestas coordenadas, v θ = 0 e v z = 0 .

Para a trajetória em r

d r d t = v r

d r d t = 3 π L r 1 - t 120

r ⋅ d r = 3 π L 1 - t 120 d t

Integrando

∫ r ⋅ d r = 3 π L ∫ 1 - t 120 d t

r 2 2 + K 1 = 3 π L t - t 2 240 + K 2

r = 6 π L t - t 2 240 + K

Para t = 0 , r = r 0

r 0 = K

K = r 0 2

A equação do raio é: r = 6 π L t - t 2 240 + r 0 2

Como: v θ = 0 e v z = 0

d θ = 0 ⇒ θ = K 3

d z = 0 ⇒ z = K 4

Passo 3

A velocidade é:

v r = 3 π L r 1 - t 120

Utilizando a equação 11.4 podemos determinar a aceleração

a r = ∂ v r ∂ t + v × ∇ v r

Como v θ = 0 e v z = 0 , podemos reduzir para:

a r = ∂ v r ∂ t + v r ∂ v r ∂ r

a r = 3 π L r ⋅ ∂ ∂ t 1 - t 120 + 3 π L r 1 - t 120 ∂ v r ∂ r 3 π L r 1 - t 120

a r = 1 40 π L r - 9 π 2 L 2 r 3 1 - t 120 2

Resposta

  1. v r = 3 π L r 1 - t 120 ;
  2. v θ = 0

    v z = 0

  3. r = 6 π L t - t 2 240 + r 0 2 ;   θ = K 3 ;   z = K 4
  4. a r = 1 40 π L r - 9 π 2 L 2 r 3 1 - t 120 2
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