Enunciado

Um helicóptero sem car ga de massa 10.000   k g flutua ao nível do mar enquanto é carregado. No modo de flutuação sem carga, as pás giram a 400   r p m . As pás horizontais acima do helicóptero fazem com que uma massa de ar de 15   m de diâmetro se mova para baixo a uma velocidade média proporcional à velocidade rotacional geral da lâmina (rpm). Uma carga de 15.000   k g é carregada no helicóptero e o helicóptero se eleva lentamente. Determine (a) a inversão da vazão de ar volumétrico que o helicóptero gera durante a flutuação sem carga e a entrada de potência necessária e (b) a rpm das pás do helicóptero para flutuar com a carga de 15.000   k g e a entrada de potência necessária. Tome a densidade do ar atmosférico 1,18   k g / m 3 . Suponha que o ar se aproxime das pás pelo alto através de uma área grande com velocidade desprezível, e que o ar seja forçado pelas pás a se mover para baixo com velocidade uniforme através de um cilindro imaginário cuja base é a área de envergadura da pá.

Passo 1

O enunciado quer saber primeiro a vazão mássica m ˙ de ar que as pás do helicóptero sem carga produzem e a potência W ˙ que o helicóptero sem carga precisa produzir para se sustentar no ar. O primeiro passo para calcular essas duas incógnitas é escolher um volume de controle. Como queremos informações sobre o helicóptero, escolheremos um volume de controle em forma de cilindro de diâmetro D = 15   m que engloba o helicóptero.

D é a envergadura das pás do helicóptero. A é a área através da qual o escoamento de ar passa. n ˙ é a velocidade de rotação das pás do helicóptero em r p m . m é a massa presente no volume de controle. Quando o helicópterio está sem carga, m é apenas a massa do helicóptero. V 1 é a velocidade do ar entrando no volume de controle. Ela é desprzível. Logo:

V 1 = 0   m / s

V 2 é a velocidade do ar saindo do volume de controle. P 1 e P 2 são as pressões manométricas do ar entrando e saindo do volume de controle respectivamente. Elas valem zero, porque essas pressões são iguais às pressões atmosféricas.

P 1 = 0   P a

P 2 = 0   P a

No próximo passo vamos aprender a calcular o que a questão pede.

Passo 2

Para encontrar vazão m ˙ precisamos aplicar a segunda lei de Newton (equação da quantidade de movimento) ao volume de controle. Podemos considerar que o escoamento de ar ocorre em regime permanente, porque as turbina geralmente operam dessa forma. Como estamos interessados apenas na velocidade vertical (eixo y ), adaptamosa equação 6 - 27 do livro (segunda lei de Newton no eixo x para volumes de controle em regime permanente).

∑ F y = m ˙ ⋅ β 2 ⋅ V 2 , y - β 1 ⋅ V 1 , y

onde ∑ F y é o somatório das forças verticais (no eixo y ) sobre o volume de controle, β 1 é o fator de correção para o escoamento que entra no volume de controle. β 2 é o fator de correção para o escoamento que sai do volume de controle. Esses dois fatores de conversão valem 1 , porque esse é o valor do fator de correção para escoamentos livres na atmosfera.

β 1 = β 2 = 1

V 1 , y é a velocidade do ar no eixo y entrando no volume de controle. Ela vale zero, porque V 1 é desprezível. V 2 , y é a velocidade do ar no eixo y saindo do volume de controle. Ela é igual à velocidade - V 2 , porque V 2 é uma velocidade vertical com o sentido de cima pra baixo.

V 2 , y = - V 2

A fórmula de m ˙ pode ser simplificada se considerarmos o escoamento de ar incompressível (densidade do ar ρ constante e igual a 1,18   k g / m 3 ).

m ˙ = ρ ⋅ V 2 ⋅ A

Como a área A pela qual o ar passa é circular, calculamos ela com a fórmula abaixo.

A = π ⋅ D 2 4

Logo:

m ˙ = ρ ⋅ V 2 ⋅ A       ⟹       m ˙ = ρ ⋅ V 2 ⋅ π ⋅ D 2 4

Substituindo essas informações na fórmula de ∑ F y , encontramos:

∑ F y = m ˙ ⋅ β 2 ⋅ V 2 , y - β 1 ⋅ V 1 , y

∑ F y = ρ ⋅ V 2 ⋅ π ⋅ D 2 4 ⋅ 1 ⋅ - V 2 - 1 ⋅ 0

∑ F y = - ρ ⋅ V 2 2 ⋅ π ⋅ D 2 4

A única força do eixo y é a força peso P do volume de controle. A força que a pressão atmosférica exerce sobre o volume de controle não é contabilizada, porque é atua sobre todo o volume de controle e seu efeito acaba sendo cancelado.

∑ F y = - P = - m ⋅ g

Substituindo isso na equação anterior de ∑ F x , encontramos:

∑ F y = - ρ ⋅ V 2 2 ⋅ π ⋅ D 2 4

- m ⋅ g = - ρ ⋅ V 2 2 ⋅ π ⋅ D 2 4

V 2 = 4 ⋅ m ⋅ g π ⋅ ρ ⋅ D 2

Substituindo isso na fórmula de m ˙ , achamos:

m ˙ = ρ ⋅ V 2 ⋅ π ⋅ D 2 4       ⟹       m ˙ = ρ ⋅ 4 ⋅ m ⋅ g π ⋅ ρ ⋅ D 2 ⋅ π ⋅ D 2 4       ⟹     m ˙ = π ⋅ ρ ⋅ D 2 ⋅ m ⋅ g 4

Passo 3

Para encontrar a potência W ˙ que o helicóptero sem carga precisa produzir para se sustentar no ar, precisamos aplicar a primeira do no volume de controle.

m ˙ ⋅ P 1 ρ + V 1 2 2 + g ⋅ z 1 + W ˙ = m ˙ ⋅ P 2 ρ + V 2 2 2 + g ⋅ z 2

W ˙ = m ˙ ⋅ P 2 ρ + V 2 2 2 + g ⋅ z 2 - z 1 - P 1 ρ - V 1 2 2

onde z 1 é a altitude do ar entrando no volume de controle e z 2 é a altitude do ar saindo do volume de controle. Como a diferença entre essas duas altitudes é desprezível, podemos cortar z 1 e z 2 da equação.

W ˙ = π ⋅ ρ ⋅ D 2 ⋅ m ⋅ g 4 ⋅ 0 ρ + 4 ⋅ m ⋅ g π ⋅ ρ ⋅ D 2 2 2 + g ⋅ 0 - P 1 ρ - 0 2 2

W ˙ = π ⋅ ρ ⋅ D 2 ⋅ m ⋅ g ⋅ m ⋅ g π ⋅ ρ ⋅ D 2

Passo 4

Substituindo os dados na equação de m ˙ , encontramos seu valor.

m ˙ = π ⋅ ρ ⋅ D 2 ⋅ m ⋅ g 4       ⟹       m ˙ = π ⋅ 1,18 ⋅ 15 2 ⋅ 10000 ⋅ 9,81 4       ⟹     m ˙ = 4523   k g / s

Substituindo os dados na equação de W ˙ , também encontramos seu valor.

W ˙ = π ⋅ ρ ⋅ D 2 ⋅ m ⋅ g ⋅ m ⋅ g π ⋅ ρ ⋅ D 2       ⟹       W ˙ = π ⋅ 1,18 ⋅ 15 2 ⋅ 10000 ⋅ 9,81 ⋅ 10000 ⋅ 9,81 π ⋅ 1,18 ⋅ 15 2

W ˙ = 1063889   W

Passo 5

Depois de calcular esses valores, o enunciado pede que a gente calcule o valor da rotação das pás n ˙ em r p m , quando o helicóptero está carregado. Para calcular isso, temos que lembrar que a questão nos informou que a velocidade média V 2 é proporcional à velocidade rotacional geral da lâmina (rpm). Ou seja, V 2 é igual à multiplicação entre uma constante C e n ˙ .

V 2 = C ⋅ n ˙

A equação acima mostra que para encontrar n ˙ , temos que achar C . Achamos C substituindo os valores de V 2 e n ˙ para o caso no qual o helicóptero está sem carga.

V 2 = C ⋅ n ˙       ⟹     C = V 2 n ˙       ⟹       C = 4 ⋅ m ⋅ g π ⋅ ρ ⋅ D 2 n ˙       ⟹     C = 4 ⋅ 10000 ⋅ 9,81 π ⋅ 1,18 ⋅ 15 2 400       ⟹       C = 0 , 0542

Agora podemos encontrar a rotação n ˙ , substituindo a fórmula de velocidade V 2 . No entanto, temos que lembrar que a velocidade V 2 mudará, quando o helicóptero passar a ter uma carga. Isso acontece, porque a massa m do volume de controle deixa de ser só a massa do helicóptero e passa a ser a soma entre a massa do helicóptero e da carga. Logo:

m = 10000 + 15000       ⟹       m = 25000   k g

V 2 = C ⋅ n ˙       ⟹       n ˙ = V 2 C       ⟹       n ˙ = 4 ⋅ m ⋅ g π ⋅ ρ ⋅ D 2 C       ⟹       n ˙ = 4 ⋅ 25000 ⋅ 9,81 π ⋅ 1,18 ⋅ 15 2 0 , 0542       ⟹       n ˙ = 633   r p m

Passo 6

Para encontrar W ˙ substituímos os dados na mesma fórmula de W ˙ que encontramos anteriormente. No entanto, tenha em mente que a massa m do volume de controle aumenta!

W ˙ = π ⋅ ρ ⋅ D 2 ⋅ m ⋅ g ⋅ m ⋅ g π ⋅ ρ ⋅ D 2       ⟹       W ˙ = π ⋅ 1,18 ⋅ 15 2 ⋅ 25 000 ⋅ 9,81 ⋅ 25 000 ⋅ 9,81 π ⋅ 1,18 ⋅ 15 2

W ˙ = 4 205390   W

Resposta

a   m ˙ = 4523 k g s

                              W ˙ = 1063889   W

b   n ˙ = 633   r p m

                            W ˙ = 4 205390   W

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