Enunciado

O lado inferior de um disco com 400 mm de diâmetro é aquecido por um forno elétrico, enquanto o lado superior está exposto ao ar ambiente quiescente e a uma vizinhança, ambos a 300 K. O forno radiante (convecção desprezível) é de construção circular, com a superfície

inferior (ε1 = 0,6) e a superfície lateral cilíndrica (ε2 = 1,0) mantidas a T1 = T2 = 500 K. A superfície do disco voltada para o forno radiante é negra (εd,1 = 1,0), enquanto a superfície superior tem uma emissividade de εd,2 = 0,8. Suponha que as superfícies do disco e do forno sejam cinzas e difusas.

  1. Determine a taxa de transferência de calor líquida para o disco, q l i q , d , quando Td = 400 K.
  2. Represente graficamente qliq,d como uma função da temperatura do disco para 300 ≤ Td ≤ 500 K, com todas as demais condições permanecendo as mesmas. Qual é a temperatura do disco em regime estacionário?

Passo 1

É isso ai galerinhaaa !! Vamos continuando?

Bom, a letra (a) nos pede para achar a taxa de transferência de calor líquida para o disco, q l i q , d , ok?

O disco está perdendo calor radiante com a superfície e convectivo com o ar, além de perder calor para a superfície interna:

q l i q , d = q c o n v + q r a d + q i n t e r i o r

Vamos olhar cada um mais de perto! Começando pelo calor radiante:

q r a d = ε d , 2 σ A T d 4 - T v i z 4

q r a d = ε d , 2 σ π D 2 4 T d 4 - T v i z 4

Lembrando que:

σ = 5,67 × 10 - 8 W m 2 K

ε d , 2 = 0,8

D = 0,4   m

T v i z = 300   K

T d = 400   K

Substituindo:

q r a d = 0,8 5,67 × 10 - 8 π 0,4 2 4 400 4 - 300 4 = 99,8   W

Agora que achamos o radiante vamos para os próximos!!

Passo 2

Para o calor convectivo:

q c o n v = h - A T d - T v i z

q c o n v = h - π D 2 4 T d - T v i z

Só nos falta o coeficiente convectivo, sabendo que:

R a L = g β T d - T v i z L c 2 a v

Neste caso:

L c = A P = D 4

Para achar as propriedades do ar nós precisamos da temperatura média:

T m = T 1 + T 2 2 = 3 00   K + 400   K 2 = 3 50   K

Assumindo que a temperatura seja próxima a 323     K e olhando na Tabela A – 4:

v = 20,92 × 10 - 6 m 2 s

k = 0 , 3 W m K

a = 29 , 9 × 10 - 6 m 2 s

β = 1 3 50   K

Substituindo:

R a L = 9,81 1 350 400 - 300 04 4 2 20,92 × 10 - 6 29,9 × 10 - 6 = 4,476 × 10 6

Quando 10 4 ≤ R a L ≤ 10 7 podemos usar:

h - = k L c 0,54 R a L 1 4

Substituindo:

h - = 0 , 3 0,4 4 0,54 4,476 × 10 6 1 4  

h - = 7,45 W m 2 K

Colocando no calor:

q c o n v = 7,45 π 0,4 2 4 400 - 30 0 = 93,6   W

Passo 3

Para o espaço interno, o fluxo radiante é calculado por:

q i n t e r n o = J 3 - J 1 1 A 3 F 31 + J 3 - J 2 1 A 3 F 3 2

A área nós já conhecemos, certo?

Como as superfícies 2 e 3 são negras, as potências emissivas são calculadas por:

E b 1 = σ T 1 4

E b 2 = J 2 = σ T 2 4

E b 3 = J 3 = σ T 3 4

Lembrando que:

σ = 5,67 × 10 - 8 W m 2 K 4

T 2 = 5 00   K

T 3   =   4 00   K

Substituindo:

E b 1 = 5,67 × 10 - 8 500 4 = 3544 W m 2

J 2 = 5,67 × 10 - 8 500 4 = 3544 W m 2

J 3 = 5,67 × 10 - 8 4 00 4 = 1452 4 W m 2

Nós ainda não temos os fatores de forma, vamos acha-lo?

Olhando a figura abaixo para os discos coaxiais:

Sabendo que:

L = 200   m m

r i = r j = 20 0   m m

Então:

L r i = 200   m m 20 0   m m = 1

r i L = 20 0   m m 200   m m = 1

Olhando no gráfico, o fator de forma entre o ambiente e a superfície interna:

F 31 = 0,382

Aplicando o somatório para a superfície 3:

F 31 + F 32 = 1

F 32 = 0,618

Temos quase tudo que precisamos, só nos falta J 1   ‼

Passo 4

Para achar J 1 nós podemos usar a seguinte relação:

E b 1 - J 1 1 - ε 1 ε 1 A 1 = J 1 - J 2 1 A 1 F 12 + J 1 - J 3 1 A 1 F 13

Substituindo o que temos:

3544 - J 1 1 - 0,6 0,6 = J 1 - 3544 1 0,618 + J 1 - 1452 1 0,383

J 1 = 3225 W m 2

Agora sim!!

q i n t e r n o = 1452 - 3225 1 π 0,4 2 4 0 , 382 + 1452 - 3544 1 π 0,4 2 4 0 , 618

q i n t e r n o = - 248   W

E o calor líquido:

q l i q , d = - 99,8   W - 93,6   W + 248   W

q l i q , d = 54,6   W

Agora sim !! Chegamos ao da letra (a) !!

Passo 5

A letra (b) nos pede para representar graficamente q l i q , d como uma função da temperatura do disco para 300   ≤ T d   ≤   500   K , com todas as demais condições permanecendo as mesmas.

A letra (b) também nos pede a temperatura do disco em regime estacionário, ou seja, quando q l i q , d = 0 !

Quando substituímos no somatório do passo anterior e utilizamos um software para resolver, obtemos que:

T d = 413   K

E finalizamos mais umaa !!

Resposta

  1. q l i q , d = 54,6   W ;
  2. T d = 413   K

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