Enunciado

Uma folha de cobre, com espessura 2 L   =   2   m m , tem uma temperatura inicial de T i = 118 ° C . Ela é subitamente imersa em água líquida, resultando em ebulição em suas duas superfícies. Para a ebulição, a lei do resfriamento de Newton é representada na forma q ″   =   h T s –   T s a t , na qual T s é a temperatura da superfície do sólido e T s a t é a temperatura de saturação do fluido (neste caso T s a t   =   100 ° C ). O coeficiente de transferência de calor pode ser avaliado por h   =   1010 W m 2   ·   K 3 T   –   T s a t 2 . Determine o tempo necessário para a folha atingir uma temperatura de T   =   102 ° C . Represente graficamente a temperatura do cobre versus o tempo para 0   ≤   t   ≤   0,5   s . No mesmo gráfico, represente o histórico da temperatura do cobre supondo que o coeficiente de transferência de calor seja constante, calculado na temperatura média do cobre T - =   110 ° C . Suponha comportamento de capacitância global.

Passo 1

Vamos lá! Nosso problema nos pede a resistência térmica de contato, mas antes que tal desenharmos o comportamento desse problema pra entendermos o que o ocorre. Fica assim.

Agora vamos as nossas famosas considerações pra resolver nosso problema.

I - P r o p r i e d a d e s   c o n s t a n t e s

I I - C a p a c i t â n c i a   g l o b a l

Passo 2

Vamos lá nosso problema nos pede o tempo necessário pra atingir a temperatura, T = 102 ° C , para isso vamos usar os dados da tabela A . 1 para o cobre, a equação 5.26 , sendo C = 1010 e n = 2 e a equação 5.27 assim nossa equação fica:

d T d t = C A s ,   c T - T s a t 3 ρ V c = - C T - T s a t 3 L ρ c

Organizando ambos os lados e integrando temos:

∫ T i T d T T - T s a t 3 = - ∫ 0 t C L ρ c d t

t = L ρ c C T - T s a t - 2 2 - T i - T s a t - 2 2

Substituindo os valores temos:

t = 0,001   m ⋅ 8.933   k g m 3 ⋅ 394   J k g ⋅ K 1010   W m 2 ⋅ K 3 102 - 100 - 2 2 - 118 - 100 - 2 2

t = 0,43   s

Passo 3

Vamos lá! como precisamos realizar o gráfico da temperatura ao longo do temos vamos usar a equação 5.6 , que fica assim:

t = ρ L c h ⋅ ln ⁡ T i - T s a t T - T s a t

Substituindo os valores temos:

t = 8.933 k g m 3 ⋅ 0,001   m ⋅ 394   J k g ⋅ K   1010 W m 2   ·   K 3 T   –   T s a t 2 ln ⁡ 118 ° C - 100 ° C T - 100 ° C

Como ele pede o gráfico pra duas situações, pra nosso h , variando seguindo a equação h   =   1010 W m 2   ·   K 3 T   –   T s a t 2 e para um h - fixo para a temperatura T - = 110 ° C assim:

h - = 1010 W m 2   ·   K 3 1 0 K 2

h - = 101.000 W m 2   ·   K

t - = 8.933 k g m 3 ⋅ 0,001   m ⋅ 394   J k g ⋅ K   101.000 W m 2   ·   K ln ⁡ 118 ° C - 100 ° C T - 100 ° C

Passo 4

Agora montando o gráfico para as duas equações temos:

Vale a pena notar que o coeficiente de convecção começa muito alto e vai decaindo de acordo com a redução da diferença de temperatura entre a água e a folha de cobre, o que justifica a curva vermelha ser mais acentuada.

Isso é tudo pessoal!

Resposta

t = 0,43   s

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