Enunciado

Leitos recheados de partículas esféricas podem ser sinterizados a altas temperaturas para formar espumas rígidas permeáveis. Uma folha de espuma com espessura t = 10 mm é formada por esferas de bronze sinterizadas, cada uma com diâmetro D = 0,6 mm. A esponja metálica tem porosidade ε = 0,25 e a folha da esponja preenche a seção transversal de L = 40 mm × W = 40 mm de um túnel de vento. As superfícies superior e inferior da esponja estão a uma temperatura Ts = 80°C e as duas outras extremidades da esponja (a superfície frontal mostrada na figura e a superfície posterior correspondente) estão isoladas. Ar escoa no túnel de vento com uma temperatura e uma velocidade a montante da esponja de Tent = 20°C e V = 10 m/s, respectivamente.

  1. Considerando que a esponja esteja a uma temperatura uniforme Ts, estime a taxa de transferência de calor por convecção para o ar. Você espera que a taxa de transferência de calor real seja igual, menor ou maior do que o valor que você estimou?
  2. Considerando condução unidimensional na direção x, use uma análise de superfície estendida para estimar a taxa de transferência de calor para o ar. Para tal, mostre que o perímetro efetivo associado à Equação 3.70 é Pef = Ap,t/L. Determine a condutividade térmica efetiva da esponja kef usando a Equação 3.25. Você espera que a taxa de transferência de calor real seja igual, menor ou maior do que o valor que você estimou?

Passo 1

Fala aí! Partiu resolver essa questão! Nosso enunciado quer saber algumas informações importantes então precisamos resolver essas duas letrinhas, show?

Mas antes de tudo… Vamos anotar alguns dados que precisaremos no caminho, para isso vamos visitar as tabelas A-1 e A-4:

k b = 52   W / m . K ρ a r = 10782   k g / m ³ c p ,   a r = 1008   J / k g . K

v = 18,41   .   10 - 6   m ² / s P r = 0,704 k a r = 0,0282   W / m . K

Vamos começar pela letra a, ok?

Para achar a taxa de tranferência de calor, vamos usar a seguinte relação:

q = m   .   c p   .   T s a i - T e n t

q = ρ   .   V   .   A c ,   b   .   c p   .   T s a i - T e n t

Precisamos encontrar os termos que não temos aí, beleza?

Passo 2

Então vamos lá:

R e D = V   .   D c v

R e D = 10   .   0,0006 18,41   .   10 - 6

R e D = 326

Agora vamos achar o h _ :

h _ = 2,06   .   ρ   .   V   .   c p ε .   P r - 2 / 3   .   R e D - 0,575

h _ = 2,06   .   1,0782   .   10   .   1008 0,25   .   ( 0,704 ) 2 / 3   .   ( 326 ) 0,575

h _ = 4060   W / m ² . K

Vamos achar a área agora que vai nos ajudar a encontrar a temperatura:

A p ,   t = N . π . D ²

A p ,   t = 6 . 1 - ε . W .   t .   L D

A p ,   t = 6   .   0,75   .   0,04   .   0,01   .   0,04 0,0006

A p ,   t = 0,12   m ²

Podemos partir para a temperatura!

T s a i = T s - T s - T e n t . e x p - h _   .   A p ,   t ρ a   .   V   .   A c ,   b   .   c p

T s a i = 80 - 60   .   e x p - 4060   .   0,12 10782   .   10   .   0,04 ²   .   1008

T s a i = 80 ° C

Passo 3

Agora sim! Podemos encontrar o nosso q agora!

q = 10782   .   10   .   0,04 ²   .   1008   .   80 - 20

q = 1043   W

Beleza! Concluímos a letra a!

Passo 4

A letra b, quer que a gente encontre a condutividade térmica efetiva, então vamos encontrar!

P e f f = A p ,   t L

P e f f = 0,12 0,04

P e f f = 3,0   m

Vamos então usar a equação 3.25, com k s = k b , para achar a condutividade efetiva!

k e f f = k f + 2 . k b - 2 . ε . ( k b - k s ) k f + 2 . k b - ε . ( k b - k s ) . k b

k e f f = 0,0282 + 2.52 - 2.0,25 . ( 52 - 0,0282 ) 0,0282 + 2.52 - 0,25 . ( 52 - 0,0282 ) . 52

k e f f = 34,7   W / m . K

Agora que encontramos ele, podemos achar o q , para responder ao último questionamento da nossa questão:

q = 2 . h _   .   P e f f   .   k e f f   .   A c ,   f   .   T s - T e n t .   t a n h ( m . L / 2 )

Ops! Tá faltando coisa aí… Vamos encontrar então:

A c ,   f = W   .   t

A c ,   f = 0,04   .   0,01

A c ,   f = 4   .   10 - 4   m ²

E agora o m :

m = h _   .   P e f f k e f f   .   A c ,   f

m = 4060   .   3 34,7   .   4   .   10 - 4

m = 937   m - 1

Agora simmm! Vamos voltar lá na equação:

q = 2 . 4060   .   3   .   34,7   .   4 . 10 - 4   .   80 - 20 .   t a n h ( 933.0,02 )

q = 1560   W

Show!

Vamos responder o que esperamos do comportamento da taxa real de transferência de calor… Bom, esperamos que ela seja menor pois a temperatura do ar aumenta à medida que flui pela espuma, beleza?

Conseguimos!

Resposta

  1. q = 1043   W
  2. k e f f = 34,7   W / m . K q = 1560   W

Esperamos que a taxa real de transferência de calor seja menor pois a temperatura do ar aumenta à medida que flui pela espuma.

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