Enunciado

Um líquido com densidade ρ e viscosidade μ escoa por gravidade através de um orificio com diâmetro d na parte inferior de um tanque com diâmetro D (Figura P 7 - 85 ). No início da experiência, a superfície líquida está a altura h acima da parte inferior do tanque, como mostra a figura. O líquido sai do tanque como um jato com velocidade média V direto para baixo, como mostra a figura. Usando a análise dimensional, gere uma relação adimensional para V como função dos outros parâmetros do problema. Identifique todos as parâmetros adimensionais estabelecidos que apareçam em seu resultado. (Sugestão: Existem três escalas de comprimento neste problema. Por consistência, selecione h como sua escala de comprimento.)

Passo 1

Bom, gente, essa questão segue um modelo de como pode ser resolvida. Basicamente, ela é feita por 6 etapas e o nosso objetivo aqui é encontrar uma relação para V como função das variáveis independentes.

Passo 2

Vamos lá, o primeiro passo consiste em listar os parâmetros. Existem 7 parâmetros nesse problema, são eles:

V = f ( h , d , D , ρ ,   μ , g )

No segundo passo, temos as seguintes dimensões primárias dos parâmetros:

V = L 1 t - 1

μ = m 1 ∙ L - 1 ∙ t - 1

d = L 1

D = L 1

ρ = m 1 ∙ L - 3

h = L 1

g = L 1 t - 2

Passo 3

No terceiro passo, como primeira tentantiva tomamos j = 3 que corresponde a quantidade de dimensões primárias do problema ( m ,   L , t ) . Se este valor de j , estiver certo, o numero de Π ' s esperado é

k = n - j = 7 - 3 = 4

Passo 4

No quarto passo, nós precisamos escolher 3 parametros repetidos. Assim, os que mais se adequam a nossa opção é:

ρ ,   g   e   h

Passo 5

No quinto passo, geramos o primeiro Π com a variável dependente, logo:

Π 1 = V g h

Percebam que conseguimos formar o número de Froude!! Por possuírem dimensões fáceis, temos:

Π 2 = d h e Π 3 = D h

Com a viscosidade, formamos o Π 4 :

Π 4 = μ h a ρ b g c                       ∴                   Π 4 = { m 1 ∙ L - 1 ∙ t - 1 L 1 a m 1 ∙ L - 3 b L 1 t - 2 c }

Calculando os expoentes para cada dimensão:

Massa: m 0 = m ∙ m b               ∴             b = - 1

Tempo: t 0 = t - 1 ∙ t - 2 c                   ∴                 0 = - 1 - 2 c               ∴           c = - 1 2

Comprimento: L 0 = L - 1 ∙ L a ∙ L - 3 b ∙ L c                     ∴                     0 = - 1 + a - 3 b + c                 ∴               a = - 3 2

Substituindo no Π 4 :

Π 4 = μ h a ρ b = μ ρ h g h

Esse nos remete ao numero de Reynolds, porém, invertido. Assim, podemos modificar o Π 4 , para que se assemelhe ao numero de Reynolds de fato:

Π 4 ,   m o d i f i c a d o = ρ h g h μ

Passo 6

Para o último passo, podemos unir todos os Π ' s da seguinte forma:

Π 1 = f ( Π 2 , Π 3 ,   Π 4 , m o d i f i c a d o )

V g h = f ( d h , D h , ρ h g h μ )

De fato a nossa relação entra de acordo com a figura, a velocidade com que o liquido escoa também depende da gravidade e da altura, e por fim, em função do conteúdo no recipiente, sua densidade e viscosidade.

Prontinho!!

Resposta

V g h = f ( d h , D h , ρ h g h μ )

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