Enunciado

Um micromanômetro centrífugo pode ser usado para criar pequenas e precisas pressões diferenciais no ar para trabalhos de medição de alta precisão. O dispositivo consiste em um par de discos paralelos que giram, desenvolvendo uma diferença de pressão radial. Não há escoamento entre os discos. Obtenha uma expressão para a diferença de pressão em termos da velocidade de rotação, raio do dispositivo e massa específica do ar. Avalie a velocidade de rotação necessária para desenvolver uma pressão diferencial de 8   μ m de água, usando um dispositivo com 50   m m de raio.

Passo 1

Neste probleminha nós temos um manômetro centrífugo que consiste em um par de discos paralelos girando para desenvolver uma diferença de pressão radial. Uma observação importante é que não há fluxo entre os discos.

Para resolvermos precisamos aplicar as equações hidrostáticas:

- ∇ p + ρ g → = p a →

- ∂ p ∂ r + ρ g r = ρ a r , equação hidrostática na direção radial

Como todo problema de mecFlu, fazemos as seguintes considerações: fluido incompressível; ar padrão entre discos; movimento rígido do corpo; e a direção radial é horizontal.

Passo 2

Para movimentos rígidos do corpo:

a = - V 2 r = - r ω 2 r = - r ω 2

Como r é horizontal: g r = 0 . Por isso, a equação passa a ser:

∂ p ∂ r = ρ r ω 2

Podemos resolver essa expressão separando variáveis e integrando:

∆ p = ρ ω 2 ∫ 0 R r d r

Resolvendo a integral, temos:

∆ p = ρ ω 2 R 2 2

Isolando a frequência:

ω = 2 ∆ p ρ R 2

Como a diferença de pressão é: ∆ p = ρ g   ∆ h , substituindo:

ω = 2 ρ w ρ a i r ( g   ∆ h ) R 2

Substituindo valores na expressão:

ω = 2 999 1,225 × ( 9,81 m s 2 × 8 × 10 - 6 m ) ( 50 × 10 - 3 ) 2

ω = 7,16 r a d s

Resposta

ω = 7,16 r a d s

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