Enunciado

Miguel está trabalhando em um problema que tem uma escala de comprimento característica L , uma velocidade característica V , uma diferença de densidade característica Δ ρ , uma

densidade ρ (média) característica e, obviamente, a constante gravitacional g , que está sempre disponível. Ele quer definir um número de Richardson, mas não tem uma vazão em volume característico. Ajude Miguel a definir uma vazão em volume característico com base nos parâmetros disponíveis e, em seguida, defina um número de Richardson apropriado em termos dos parâmetros dados.

Passo 1

Bora ajudar o Miguel!!

O enunciado da pra a gente todas as variáveis que o Miguel tem disponível:

L ,   V , Δ ρ , ρ , g  

Mas agora, como é esse número de Richardson?

R i = L 5 g Δ ρ ρ V ˙ 2

Agora o que a gente precisa fazer é achar uma forma de “adaptar” as variáveis que o Miguel tem para chegar no número de Richardson, beleza?

Passo 2

A gente tem a velocidade V que não esta presente no número de Richardson e esta faltando V ˙ , sabendo que V ˙ deve ter dimensão de vazão volumétrica, que é:

V ˙ = { L 3 t - 1 }

Vamos procurar dentro das variáveis disponíveis uma forma de chegar nessa dimensão!

Para isso vamos dar uma olhadinha nas dimensões das nossas variáveis:

L = L 1 ; V = L 1 t - 1 ; Δ ρ = m 1 L - 3 ; ρ = m 1 L - 3 ; g = { L 1 t - 2 }

L com V parece ser um bom palpite, então vamos tentar combinar elas:

{ L a × V b } = { V ˙ }

Substituindo pelas dimensões básicas:

L 1 a × ( L 1 t - 1 b } = { L 3 t - 1 }

Equacionando os expoentes do comprimento:

L a + L b = L 3

a + b = 3

Agora o tempo:

t - b = t - 1

b = 1

Logo:

a + 1 = 3

a = 2

Ou seja:

{ L 2 × V } = { V ˙ }

Podemos dizer então que:

V ˙ = L 2 V

Já temos a primeira resposta que o enunciado pediu, que era definir uma vazão em volume característico com base nos parâmetros disponíveis!

Passo 3

Agora vamos pegar o número de Richardson que a gente viu no Passo 1 e vamos substituir a relação que terminamos de achar:

R i = L 5 g Δ ρ ρ V ˙ 2

Substituindo:

R i = L 5 g Δ ρ ρ ( L 2 V ) 2

Dando aquela arrumadinha:

R i = L g Δ ρ ρ V 2

Uhuuul! Conseguimos ajudar o Miguel!!

Resposta

Vazão em volume característico com base nos parâmetros disponíveis:

V ˙ = L 2 V

Número de Richardson:

R i = L g Δ ρ ρ V 2

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