Enunciado

Um dos módulos termoelétricos do Problema 3.13 está instalado entre um gás quente a T ∞ ,   1 = 450 ° C e um gás frio a T ∞ ,   2 = 20 ° C . O coeficiente convectivo associado ao escoamento dos dois gases é h = h 1 = h 2 = 80 W / ( m . K ) , enquanto a resistência elétrica da carga é de R e ,   c a r g a = 4   V .

  1. Esboce o circuito térmico equivalente e determine a potência elétrica gerada pelo módulo para a situação, na qual, os gases quente e frio fornecem aquecimento e resfriamento convectivos diretamente para os módulos (sem dissipadores de calor).
  2. Dois dissipadores de calor ( k = 180   W / ( m . K ) ); veja no esboço), cada um com espessura da base L b = 4   m m e comprimento das aletas de L a = 20   m m , estão soldados nos lados superior e inferior do módulo. O espaço entre as aletas é de 3   m m , enquanto as juntas de solda têm, cada uma, uma resistência térmica de R t ,   c " = 2,5   .   10 - 6   m ² . K / W . Cada dissipador tem N = 11 aletas, de modo que t = 2,182   m m e S = 5,182   m m , como determinado a partir das exigências de que W = N - 1 S + t e S - t = 3   m m . Esboce o circuito térmico equivalente e determine a potência elétrica gerada pelo módulo. Compare a potência elétrica gerada com a sua resposta para o item (a). Suponha extremidades adiabáticas nas aletas e coeficientes convectivos iguais aos da parte (a).

Passo 1

Fala aí! Temos duas letrinhas para responder… Vamos começar pela letra a!

Ela pede pra gente esboçar o circuito e depois determinar a potência elétrica gerada, show?

Vamos nessa!

Temos a imagem pra ajudar na montagem do circuito… Ele vai ficar com essa cara aqui olha:

Agora vamos lembrar que pra calcular nossa potência podemos usar a fórmula:

P = I 2   .   R e ,   c a r g a

Vamos então encontrar esse I , beleza? Pra isso precisamos:

R t ,   c o n d = L N . A . k

R t ,   c o n d = 2,5   .   10 - 3 100   .   1,2   .   10 - 5   .   1,2

R t ,   c o n d = 1,736   K / W

Agora precisaremos usar as equações 3.125 e 3.126 do livro… Tudo em prol da corrente, vamos lá:

q 1 = 1 R t ,   c o n d   .   T 1 - T 2 + I   .   S p - n ,   e f f   .   T 1 - I 2   .   R e ,   e f f

q 1 = T 1 - T 2 1,736 + I   .   0,1435   .   T 1 - I 2   .   4

q 2 = 1 R t ,   c o n d   .   T 1 - T 2 + I   .   S p - n ,   e f f   .   T 2 - I 2   .   R e ,   e f f

q 2 = T 1 - T 2 1,736 + I   .   0,1435   .   T 2 - I 2   .   4

Ops! Mas nós não temos T 1 e nem T 2 , vamos usar então a lei de resfriamento de Newton pra gente tentar montar um sistema pra descobrir o nosso I .... Vamos lá:

q 1 = h 1   .   W ²   .   T ∞ ,   1 - T 1 q 2 = h 2   .   W ²   .   T 2 - T ∞ ,   2

q 1 = 80   .   0,054 ²   .   723 - T 1 q 2 = 80   .   0,054 ²   .   T 2 - 293

q 1 = 168,66   -   0,233   .   T 1 q 2 = 0,233   .   T 2 - 68,35

Se a nossa energia produzida é igual a nossa energia dissipada, vamos ter que:

I 2   .   R e ,   c a r g a = I   .   S p - n ,   e f f   .     T 1 - T 2 - 2   .   I ²   .   R e ,   e f f

I 2   .   4 = I   .   0,1435   .     T 1 - T 2 - 2   .   I ²   .   4

Passo 2

Agora podemos montar o que achamos em um sistema de três equações e três incógnitas, olha só:

168,66   -   0,233   .   T 1 = T 1 - T 2 1,736 + I   .   0,1435   .   T 1 - I 2   .   4

0,233   .   T 2 - 68,35 = T 1 - T 2 1,736 + I   .   0,1435   .   T 2 - I 2   .   4

I 2   .   4 = I   .   0,1435   .     T 1 - T 2 - 2   .   I ²   .   4

Sistema a gente já está acostumado a resolver, né?

Resolvendo esse carinha aí vamos ter que:

I = 0,38   A

Agora é só retornar lá na nossa equação da potência:

P = I 2   .   R e ,   c a r g a

P = 0,38 2   .   4

P = 0,59   W

Agora partiu letra b!

Passo 3

A letra b, pede pra gente desenhar o novo circuito térmico e determinar novamente a potência elétrica…

Nosso circuito terá essa carinha aqui:

E novamente vamos precisar achar a corrente, mas dessa vez temos outros dados então faremos de um jeito diferente:

R t o t a l = R t ,   c " W ² + R b a s e + R t ,   o

R t o t a l = R t ,   c " W ² + L b k . W ² + 1 η o . h . A

O único termo que tá faltando aí é o último, então vamos achar ele:

η o . A t = A b + N . A f . η f

A b + N . A f . η f = N - 1 .   W .   S - t + 2   .   N   .   W   .   L f   .   t a n h   ( m . L f ) m   .   L f

Vish! Temos esse m pra encontrar também:

m = h . P k . A c

m = 2   .   h k   .   t

m = 2   .   80 180   .   0,002182

m = 20,2   m - 1

Agora vamos voltar ali em cima:

η o . A t = 10   .   0,054 .   0,003 + 2   .   11   .   0,054   .   0,02   .   t a n h   ( 20,2   .   0,02 ) 20,2   .   0,02

η o . A t = 0,0242   m ²

E voltando lá na equação da resistência total, temos:

R t o t a l = 2,5   .   10 - 6 0,054 ² + 0,004 180   .   0,054 ² + 1 80   .   0,0242

R t o t a l = 0,526   K / W

Agora podemos usar as equações:

q 1 = T ∞ ,   1 - T 1 R t o t q 2 = T 2 - T ∞ ,   2 R t o t

q 1 = 723 - T 1 0,526 q 2 = T 2 - 293 0,526

q 1 = 1374,53 - 1,9 . T 1 q 2 = 1,9 . T 2 - 557,03

Agora vamos montar outro sisteminha, usando as mesma equações da letra a, beleza?

1374,53 - 1,9 . T 1 = T 1 - T 2 1,736 + I   .   0,1435   .   T 1 - I 2   .   4

1,9 . T 2 - 557,03 = T 1 - T 2 1,736 + I   .   0,1435   .   T 2 - I 2   .   4

I 2   .   4 = I   .   0,1435   .     T 1 - T 2 - 2   .   I ²   .   4

Resolvendo esse sistema vamos ter que:

I = 2,04   A

E agora podemos calcular a potência:

P = 2,04 ²   .   4

P = 16,7   W

Conseguimos! E chegamos a conclusão de que a nossa potência encontrada na letra b é 28 vezes maior que o anterior!

Resposta

  1. P = 0,59   W
  2. P = 16,7   W
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