Enunciado

Módulos termoelétricos têm sido utilizados para gerar potência elétrica através do aproveitamento do calor gerado em fogões a lenha. Considere a instalação de um módulo termoelétrico do Exemplo 3.13 em uma superfície vertical de um fogão a lenha que tem uma temperatura superficial de T s = 375 ° C . Uma resistência térmica de contato de R t ,   c " = 5   .   10 - 6   m 2 . K / W está presente na interface entre o fogão e o módulo termoelétrico, enquanto o ar da sala e suas paredes encontram-se a T ∞ = T v i z = 25 ° C . A superfície exposta do módulo termoelétrico tem uma emissividade ε = 0,90 e está submetida a um coeficiente convectivo h = 15 W / ( m ² . K ) . Esboce o circuito térmico equivalente e determine a potência elétrica gerada pelo módulo. A resistência elétrica da carga é de R e ,   c a r g a = 3   Ω .

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver essa questão? Partiu!

Ela pede pra gente esboçar o circuito e depois determinar a potência elétrica gerada, show?

Vamos nessa!

O nosso circuito vai ficar com essa cara aqui olha:

Agora vamos lembrar que pra calcular nossa potência podemos usar a fórmula:

P = I 2   .   R e ,   c a r g a

Passo 2

Vamos então encontrar esse I , beleza? Pra isso precisamos do:

R t ,   c o n d = L N . A . k

R t ,   c o n d = 2,5   .   10 - 3 100   .   1,2   .   10 - 5   .   1,2

R t ,   c o n d = 1,736   K / W

Agora precisaremos usar as equações 3.125 e 3.126 do livro… Tudo em prol da corrente, vamos lá:

q 1 = 1 R t ,   c o n d   .   T 1 - T 2 + I   .   S p - n ,   e f f   .   T 1 - I 2   .   R e ,   e f f

q 1 = T 1 - T 2 1,736 + I   .   0,1435   .   T 1 - I 2   .   4

q 2 = 1 R t ,   c o n d   .   T 1 - T 2 + I   .   S p - n ,   e f f   .   T 2 - I 2   .   R e ,   e f f

q 2 = T 1 - T 2 1,736 + I   .   0,1435   .   T 2 - I 2   .   4

Vamos tentar encontrar o q 1 :

q 1 = T ∞ ,   1 - T 1 R t ,   c

Opa! Precisamos desse R t ,   c , vamos achar ele assim:

R t ,   c = R t ,   c " W ²

R t ,   c = 5   .   10 - 6 0,054 ²

R t ,   c = 1,71   .   10 - 3   K / W

Agora podemos voltar na equação ali de cima:

q 1 = 648 - T 1 1,71   .   10 - 3

q 1 = 5,54   .   10 5 - 584,8 . T 1

Agora vamos encontrar o nosso q 2 :

q 2 = T 2 - T ∞ R r a d ,   c o n v

q 2 = T 2 - T ∞ . h + h r . W ²

q 2 = T 2 - 293 . 15 + h r . 0,054 ²

O h r também é uma função de T 2 , então vamos substituí-lo:

q 2 = T 2 - 293 . 15 + ε . σ . T 2 - T s . T 2 ² - T s ² . 0,054 ²

q 2 = T 2 - 293 . 15 + 0,95   .   5,67   .   10 - 8 . T 2 - 293 . T 2 ² - 293 ² . 0,054 ²

q 2 = T 2 - 293 . 15 + 5,3   .   10 - 8 . T 2 - 293 . T 2 ² - 85849 . 0,00292

Se a nossa energia produzida é igual a nossa energia dissipada, vamos ter que:

I 2   .   R e ,   c a r g a = I   .   S p - n ,   e f f   .     T 1 - T 2 - 2   .   I ²   .   R e ,   e f f

I 2   .   3 = I   .   0,1435   .     T 1 - T 2 - 2   .   I ²   .   3

Passo 3

Agora podemos montar o que achamos em um sistema de três equações e três incógnitas, olha só:

5,54   .   10 5 - 584,8 . T 1 = T 1 - T 2 1,736 + I   .   0,1435   .   T 1 - I 2   .   4

T 2 - 293 . 15 + 5,3   .   10 - 8 . T 2 - 293 . T 2 ² - 85849 . 0,00292 = T 1 - T 2 1,736 + I   .   0,1435   .   T 2 - I 2   .   4

I 2   .   3 = I   .   0,1435   .     T 1 - T 2 - 2   .   I ²   .   3

Sistema a gente já está acostumado a resolver, né? Apesar deste ser mais complexo, a gente consegue tranquilo… E resolvendo esse carinha aí vamos ter que:

I = 0,27   A

Agora é só retornar lá na nossa equação da potência:

P = I 2   .   R e ,   c a r g a

P = 0,27 2   .   3

P = 0,22   W

Conseguimos!

Resposta

P = 0,22   W

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