Enunciado

Uma parede, com 0,12   m de espessura e difusividade térmica de 1,5   ×   10 - 6   m 2   / s , encontra-se inicialmente a uma temperatura uniforme igual a 85 ° C . Subitamente, uma de suas faces tem a sua temperatura reduzida a 20 ° C , enquanto a outra é perfeitamente isolada.

(a) Usando a técnica explícita de diferenças finitas, com incrementos espacial e no tempo de 30   m m e 300   s , respectivamente, determine a distribuição de temperaturas em t   =   45   m i n .

(b) Com Δ x   =   30   m m e Δ t   =   300   s , calcule T ( x ,   t ) para 0   ≤   t   ≤   t r e , sendo t r e o tempo necessário para que a temperatura em cada um dos pontos nodais atinja um valor que se encontre a menos de 1 ° C do seu valor em regime estacionário. Repita os cálculos anteriores para Δ t   =   75   s . Para cada valor de Δ t , represente graficamente os históricos das temperaturas em cada face da parede e no seu plano central.

Passo 1

Nessa questão nós temos uma parede de 0,12   m de espessura, com difusividade térmica 1,5   ×   10 - 6 m 2 /   s , inicialmente a uma temperatura uniforme de 85   °   C , com uma face repentinamente abaixada para 20   °   C enquanto a outra face está perfeitamente isolada.

A partir disso queremos a distribuição de temperatura na parede 45 minutos após a mudança na temperatura da superfície e o efeito de Δ t nos históricos de temperatura das superfícies e no plano médio.

Passo 2

Para resolver essa questão vamos assumir que a condução transitória é unidimensional e as propriedades são constantes.

As equações de diferença finita para os pontos interiores, nós 0 ,   1 ,   2 e 3 , podem ser determinadas a partir de:

T m p + 1 = F o T m + 1 p + T m - 1 p + 1 - 2 F o T m p

Com,

F o = α t x 2 = 1 , 5 × 10 - 6 m 2 s × 300 s     0,03   m 2 = 1 2

Observe que o critério de estabilidade F o   ≤   1 / 2 , é atendido. Portanto, combinando as equações anteriores temos,

T m p + 1 = 1 2 T m + 1 p + T m - 1 p para m = 0,1 , 2,3

Passo 3

A distribuição de temperatura também pode ser determinada a partir da aproximação de um termo da solução exata. A superfície isolada é equivalente ao plano médio de uma parede de espessura 2 L . Portanto,

F o = α t L 2 = 1,5 × 10 - 6 m 2 s × ( 45 × 60 ) s     0 , 12   m 2 = 0,28

E,

B i   →   ∞

Da Tabela 5.1, ζ 1   =   1.5707 ,   C 1   =   1.2733 . Então:

θ o * = C 1 exp ⁡ - ζ 1 2 F o =   1.2733 exp ⁡ - 1,5707 2 × 0,28 = 0,64

Ou,

T o = T 0 , t = T ∞ + θ o * T i - T ∞ = 20 ° C + 0,64 85 - 20 ° C = 61,5 ° C

Este valor mostra uma excelente concordância com 61,7   °   C para o método das diferenças finitas.

Passo 4

Para a letra (b) queremos representar graficamente os históricos das temperaturas em cada face da parede e no seu plano central. Onde temos:

Além de pequenas diferenças durante os estágios iniciais do transitório, há uma excelente concordância entre os resultados obtidos para as duas etapas de tempo. A queda de temperatura na superfície isolada deve ficar abaixo da do plano intermediário.

Resposta

  1.   T o = 61,5 ° C

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