Enunciado

Deduza a equação de diferenças finitas, bidimensional e transiente, para a temperatura no ponto nodal 0 localizado sobre a fronteira entre dois materiais diferentes.

Passo 1

Aqui nós temos um ponto nodal localizado na fronteira entre dois materiais A e B. E queremos encontrar a equação de diferença finita transitória explícita bidimensional, beleza? Então vamos lá!

Passo 2

Para resolver essa questão vamos assumir que a condução é bidimensional, não tem geração de calor e as propriedades são constantes (diferentes em cada material).

Realizamos um balanço de energia no volume de controle em torno do nó 0 obtendo:

E ˙ e n t = E ˙ s t

q 1 A + q 1 B + q 3 A + q 3 B + q 2 + q 4 = E ˙ s t , A + E ˙ s t , B

Usando q 1 A como exemplo temos:

q 1 A =   k A   T 1 - T 0 Δ x Δ y 2 w = k A T 1 - T 0 w 2

Onde w é a profundidade da página. As quantidades q 1 B ,   q 3 A e q 3 B podem ser encontradas da mesma forma. Então q 2 é dado por

q 2 = k A   T 2 - T 0 Δ y Δ x   w = k A T 2 - T 0 w

E   q 4 pode ser encontrado de forma similar.

Passo 3

O termo de armazenamento E ˙ s t , A   é dado por: E ˙ s t , A = ρ A c A Δ y 2   T 0 p + 1 - T 0 p Δ t

E similarmente para E ˙ s t , B .

A combinação das equações produz:

k A T 1 - T 0 2 + k B T 1 - T 0 2 + k A T 3 - T 0 2 + k B T 3 - T 0 2

+ k A T 2 - T 0 + k B T 4 - T 0 = ( ρ A c A + ρ B c B ) Δ x 2 2 T 0 p + 1 - T 0 p Δ t  

Reorganizando isso, encontramos:

T 0 p + 1 = F o A + F o B 2 T 1 p + T 3 p + F o A T 2 p + F o B T 4 p + 1 - 2 F o A + F o B T 0 p

Onde,

F o A = 2 k A Δ t ( ρ A c A + ρ B c B ) Δ x 2 e F o B = 2 k B Δ t ( ρ A c A + ρ B c B ) Δ x 2

Repara que aqui   F o ≠ α t x 2 .

Resposta

T 0 p + 1 = F o A + F o B 2 T 1 p + T 3 p + F o A T 2 p + F o B T 4 p + 1 - 2 F o A + F o B T 0 p

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma placa de grande espessura, com difusividade térmica de 5,6×10 - 6m 2 / s e condutividade térmica de 20W / ( m·K ) , está inicialmente a uma temperatura uniforme de 325 ° C . De repente, a sua supe
Pilares de concreto reforçados com aço são usados em grandes construções. Falhas estruturais podem ocorrer em altas temperaturas em função de um incêndio por causa do enfraquecimento do núcleo metálic
Com referência ao Comentário 4 do Exemplo 5.12 , analise a súbita exposição da superfície a uma grande vizinhança, a uma temperatura elevada ( T v i z ) , e a condições de convecção ( T ∞ ,h ) .(a) De
Considere a operação de colagem descrita no Problema 3.115 , que foi analisada sob condições de regime estacionário. Agora, entretanto, o laser será usado para aquecer a película durante um período de
Uma barra com 10m m de diâmetro e 250m m de comprimento tem uma de suas extremidades mantida a 100 ° C . Na superfície da barra há transferência de calor por convecção natural com o ar ambiente a 25 °