Enunciado

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Deduza a equação de diferenças finitas, bidimensional e transiente, para a temperatura no ponto nodal 0 localizado sobre a fronteira entre dois materiais diferentes.

Passo 1

Aqui nós temos um ponto nodal localizado na fronteira entre dois materiais A e B. E queremos encontrar a equação de diferença finita transitória explícita bidimensional, beleza? Então vamos lá!

Passo 2

Para resolver essa questão vamos assumir que a condução é bidimensional, não tem geração de calor e as propriedades são constantes (diferentes em cada material).

Realizamos um balanço de energia no volume de controle em torno do nó 0 obtendo:

E ˙ e n t = E ˙ s t

q 1 A + q 1 B + q 3 A + q 3 B + q 2 + q 4 = E ˙ s t , A + E ˙ s t , B

Usando q 1 A como exemplo temos:

q 1 A =   k A   T 1 - T 0 Δ x Δ y 2 w = k A T 1 - T 0 w 2

Onde w é a profundidade da página. As quantidades q 1 B ,   q 3 A e q 3 B podem ser encontradas da mesma forma. Então q 2 é dado por

q 2 = k A   T 2 - T 0 Δ y Δ x   w = k A T 2 - T 0 w

E   q 4 pode ser encontrado de forma similar.

Passo 3

O termo de armazenamento E ˙ s t , A   é dado por: E ˙ s t , A = ρ A c A Δ y 2   T 0 p + 1 - T 0 p Δ t

E similarmente para E ˙ s t , B .

A combinação das equações produz:

k A T 1 - T 0 2 + k B T 1 - T 0 2 + k A T 3 - T 0 2 + k B T 3 - T 0 2

+ k A T 2 - T 0 + k B T 4 - T 0 = ( ρ A c A + ρ B c B ) Δ x 2 2 T 0 p + 1 - T 0 p Δ t  

Reorganizando isso, encontramos:

T 0 p + 1 = F o A + F o B 2 T 1 p + T 3 p + F o A T 2 p + F o B T 4 p + 1 - 2 F o A + F o B T 0 p

Onde,

F o A = 2 k A Δ t ( ρ A c A + ρ B c B ) Δ x 2 e F o B = 2 k B Δ t ( ρ A c A + ρ B c B ) Δ x 2

Repara que aqui   F o ≠ α t x 2 .

Resposta

T 0 p + 1 = F o A + F o B 2 T 1 p + T 3 p + F o A T 2 p + F o B T 4 p + 1 - 2 F o A + F o B T 0 p

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