Enunciado

Uma parede plana composta e unidimensional tem espessura global igual a 2 L . O Material A está no domínio - L   ≤   x   ≤   0 e há no seu interior uma reação química exotérmica que ocasiona uma taxa de geração volumétrica uniforme q ˙ A . O Material B está no domínio 0   ≤   x   ≤   L e há no seu interior uma reação química endotérmica que ocasiona uma taxa de geração volumétrica uniforme q ˙ B   =   -   q ˙ A . As superfícies em x   =   ±   L estão isoladas termicamente. Esboce as distribuições, em regime estacionário, de temperaturas e de fluxos térmicos, T ( x ) e q x ' ' ( x ,   t ) , respectivamente, no domínio - L   ≤   x   ≤   L para k A   =   k B , k A   =   0,5   k B e k A   =   2   k B . Aponte as características importantes das distribuições que você desenhou. Se q ˙ B   =   -   2 q ˙ A , você pode esboçar a distribuição de temperaturas no regime estacionário?

Passo 1

Vamos lá! primeiro vamos entender nosso problema, o problema diz que se trata de dois materiais em contato um com o outro mas isolados termicamente do meio, um sofre um processo exotérmico (libera calor) e o outro passa por um processo endotérmico (absorve calor), pra deixar isso mais claro vamos analisar um esquema gráfico do nosso sistema

Origem e sentido da geração de calor e da dissipação.

Agora precisamos fazer nossas famosas considerações. Hehe (u.u)

I - C o n d u ç ã o   u n i d i m e n s i o n a l

I I - R e g i m e   p e r m a n e n t e

I I I - p r o p r i e d a d e s   c o n s t a n t e s

Passo 2

Tendo tudo isso em mente vamos escrever nossa lei de Fourier pra podermos analisar a dinâmica do problema.

Como nossa condução é unidimensional e há geração de energia, temos:

∂ 2 T ∂ x 2 + q ˙ k = 0 ,   ∂ T ∂ x = - q x ' ' k  

q ˙ = ∂ q x ' ' ∂ x

Esse resultado nos indica que o fluxo de calor varia linearmente com x , pois se integrarmos ambos os lados da equação temos:

∫ q ˙ ∂ x = ∫ ∂ q x ' ' ∂ x ∂ x

q ˙ x + C 1 = q x ' '

Aplicando nossas condições de contorno, temos:

x = - L ,   q x ' ' = 0

C 1 = q ˙ L

Lembrando que o fluxo pode ser ±   q A dependendo do lado que estamos, o que garante nossa condição de contorno para todo o material.

Com esses dados em mãos vamos montar nosso gráfico, assim temos:

Passo 3

(b) Vamos refazer o passo anterior agora com o foco em encontrar T x

∂ ∂ x ∂ T ∂ x = - q ˙ k

Integrando duas vezes temos:

∫ ∫ ∂ ∂ x ∂ T ∂ x d x 2 = ∫ ∫ - q ˙ k d x 2

T x = - q ˙ x 2 2 k + C 1 x + C 2  

Usando nossas condições de contorno temos:

x = - L , ∂ T ∂ x = 0

C 1 = - q ˙ L k

Como não temos dados o suficiente para inferir uma condição de contorno para encontrarmos T 2 , vamos manter ela assim na equação, assim vamos montar nosso gráfico para T - x

Nossa T ( x ) é uma equação do segundo grau, mas como o fator q ˙ que o multiplica muda de sinal de acordo com o material temos uma mudança no sentido da concavidade da parábola.

Como k é inversamente proporcional a nossa temperatura, da forma que mostramos na nossa equação, quanto menor for o k maior será a nossa temperatura. (no caso maior será o pico da concavidade da nossa parábola.

Passo 4

Pra terminarmos de vez com nosso problema vamos fazer o balanço de energia assim.

Para q ˙ B = - 2 q ˙ A temos:

Como V é o volume e a variação de energia acumulada é diferente de 0 , logo nosso sistema não pode atingir o estado permanente tendo em vista que ele está acumulando energia constantemente enquanto os processos estão ocorrendo.

Isso é tudo pessoal! \o/

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