Enunciado

Um aquecedor de ar pode ser fabricado pelo enrolamento de um fio de níquel cromo e passagem do ar em escoamento cruzado ao fio. Considere um aquecedor fabricado com um fio de diâmetro D = 1   m m , resistividade elétrica, ρ e = 10 - 6   Ω · m , condutividade térmica, k = 25   W / m · K , e emissividade ε = 0,20 . O aquecedor é projetado para fornecer ar a uma temperatura de T ∞ = 50 ℃ sob condições de escoamento que fornecem um coeficiente convectivo de h = 250   W / m 2 · K na superfície do fio. A temperatura do envoltório que envolve o fio e através do qual o ar escoa é igual a T v i z = 50 ℃ .

Se a temperatura máxima admissível do fio é igual a T m á x = 1200 ℃ , qual é a corrente elétrica máxima admissível, I ? Se a voltagem máxima disponível é de Δ E = 110   V , quais são o comprimento L do fio que pode ser usado no aquecedor e a potência nominal do aquecedor? Sugestão: Na sua solução, suponha variação de temperatura no interior do fio desprezível, mas após obter os resultados desejados, avalie a validade desta suposição.

Passo 1

Fala Galera!!

Nessa questão queremos determinar a corrente elétrica operacional máxima admissível, o comprimento do fino no aquecedor e potência nominal do aquecedor.

PRESSUPOSTOS:

(1) Estado estacionário;

(2) Temperatura uniforme do fio;

(3) Propriedades constantes;

(4) Troca de radiação em ambientes grandes.

DADOS FORNECIDOS:

Diâmetro do fio de níquel cromo do aquecedor: D = 1   m m

Raio do fio de níquel cromo do aquecedor: r o = 0,5   m m = 5 × 10 - 4   m

Resistividade elétrica: ρ e = 10 - 6   Ω · m

Emissividade: ε = 0,20

Condutividade térmica do fio de níquel cromo: k = 25   W / m · K

Coeficiente convectivo entre o ar e o fio: h c o n v = 250   W / m 2 · K

Temperatura do ar fornecida pelo aquecedor: T ∞ = 50 ℃ = 323   K

Temperatura do envoltório que envolve o fio através do qual o ar escoa: T v i z = 50 ℃ = 323   K

Temperatura máxima admissível do fio: T m á x = T s = 1200 ℃ = 1473   K

Voltagem máxima disponível: Δ E = 110   V

Passo 2

Para resolver essa questão, vamos assumir uma temperatura uniforme do fio, assim,

T m á x = T   r = 0 = T o = T s

Temos também que a geração volumétrica máxima de calor pode ser obtida pela equação 3.60

T s = T ∞ + q ˙ r o 2 h

onde h é o coeficiente total de transferência de calor, h = h c o n v + h r a d , usado no lugar do coeficiente de convecção h da formula acima.

Passo 3

Agora, vamos calcular a o coeficiente de transferência de calor por radiação usando a seguinte relação:

h r a d = ε σ T s + T v i z T s 2 + T v i z 2

Aqui,  ε é emissividade,  σ é a constante Boltzmann de Stefan,  T s é a temperatura da superfície e  T v i z é a temperatura do envoltório que envolve o fio. Substituindo os termos da equação acima pelos dados fornecidos, temos:

h r a d = 0,20 5,67 × 10 - 8 1473 + 323 1473 2 + 323 2

h r a d = 46,3   W / m 2 ⋅ K

Assim, temos que o coeficiente total de transferência de calor é o seguinte:

h = h c o n v + h r a d

h = 250   W / m 2 ⋅ K + 46,3   W / m 2 ⋅ K

h = 29 6,3   W / m 2 ⋅ K

Passo 4

Com o coeficiente total de transferência de calor, podemos obter a taxa máxima de geração de energia por unidade de volume usando a expressão citada no passo 2. Assim temos:

T s = T ∞ + q ˙ r o 2 h

q ˙ m á x = 2 h r o T s - T ∞

Substituindo os termos da equação acima pelos dados fornecidos, temos:

q ˙ m á x = 2 29 6,3   W / m 2 ⋅ K 5 × 10 - 4   m 1473   K - 323   K

q ˙ m á x = 1,36 × 10 9   W / m 3

Passo 5

Podemos calcular a corrente elétrica operacional máxima permitida, usando a equação 3.43, em que:

q ˙ = E g ˙ V = I 2 R e V

Aqui, R e é a resistência elétrica, I é a corrente elétrica e V é o volume do fio.

q ˙ = I 2 ρ e L / A c L A c = I 2 ρ e A c 2

Reorganizando, temos:

I 2 = q ˙ ρ e A c 2 = q ˙ ρ e π r o 2 2

I = q ˙ ρ e 1 2 π r o 2

I m á x = q ˙ m á x ρ e 1 2 π r o 2

Aqui, ρ e é a resistividade elétrica e r o é o raio do fio. Substituindo os termos da equação acima pelos dados fornecidos, temos:

I m á x = 1,36 × 10 9   W / m 3 10 - 6   Ω · m 1 2 π 5 × 10 - 4   m 2

I m á x = 29   A

Portanto, a corrente operacional máxima permitida é  29   A .

Passo 6

Podemos calcular o comprimento do fio do aquecedor correspondente à corrente de operação utilizando a seguinte relação:

∆ E = I R e = I ρ e L / A c

Reorganizando:

L = ∆ E ⋅ A c I m á x ρ e

L = ∆ E ⋅ π r o 2 I m á x ρ e

Aqui,  ∆ E é a tensão máxima disponível,  A c é a área da seção transversal,  I m á x é a corrente elétrica máxima permitida,  ρ e é a resistividade elétrica e r o é o raio do fio do aquecedor. Substituindo os termos da equação acima pelos dados fornecidos, temos:

L = π 110   V 5 × 10 - 4   m 29   A 10 - 6   Ω · m

L = 2,98   m

Portanto, o comprimento do fio do aquecedor é  2,98   m .

Passo 7

Agora, vamos calcular a potência nominal do aquecedor usando a seguinte relação:

P e l é t r i c a = ∆ E ⋅ I m á x

Aqui  ∆ E é a mudança no potencial elétrico e  I m á x é a corrente operacional máxima permitida. Substituindo os termos da equação acima pelos dados fornecidos, temos:

P e l é t r i c a = 110   V 29   A

P e l é t r i c a = 3190   W

P e l é t r i c a = 3 , 19   k W

Portanto, a potência nominal do aquecedor é  3,19   k W .

Resposta

I m á x = 29   A

L = 2,98   m

P e l é t r i c a = 3,19   k W

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um aquecedor elétrico delgado, dissipando 4000W / m 2 , encontra-se imprensado entre duas placas, ambas com espessura de 25m m , cujas superfícies expostas trocam calor por convecção com um fluido a T
Considere as condições do Exemplo 3.12, com o ar como ambiente, exceto agora pelo fato do ar e da vizinhança estarem a 15 ° C . Seres humanos respondem ao frio tremendo, o que aumenta a taxa de geraçã
Considere as condições do Exemplo 3.12, exceto que agora a pessoa está fazendo exercício (no ar como ambiente), o que multiplica por oito a taxa de geração de calor metabólica, passando então para 560
Considere a transferência de calor em um antebraço, que pode ser aproximado por um cilindro de músculo de raio 50m m (desprezando a presença dos ossos), com uma camada externa de pele e gordura com es
A distribuição de temperaturas, em regime estacionário, em uma parede unidimensional com condutividade térmica k e espessura L tem a forma T = a x 2 + b x + c . Desenvolva expressões para a taxa de ge