Enunciado

Considere os fardos cilíndricos de feno no Problema 3.82. É proposto usar a geração microbiológica de energia associada ao feno molhado para aquecer água. Considere um tubo com 30   m m de diâmetro, com parede delgada, inserido na direção longitudinal no centro de um fado cilíndrico. O tubo transporta água a T ∞ , i = 20 ℃ , com h i = 200   W / m 2 · K .

(a) Determine a taxa de transferência de calor, em regime estacionário, para a água, por unidade de comprimento do tubo.

(b) Represente graficamente a distribuição radial de temperaturas no feno, T ( r ) .

(c) Represente graficamente a transferência de calor para a água, por unidade de comprimento do tubo, para diâmetros do fardo na faixa 0,2   m ≤ D ≤ 2   m .

Passo 1

Fala galera!!

Nessa questão, queremos obter: (a) Transferência de calor em estado estacionário para a água por unidade de comprimento do tubo, (b) Gráfico da distribuição da temperatura radial, T (r), no feno (c) Gráfico da transferência de calor para a água por unidade comprimento do tubo para diâmetros de fardo de 0,2   m ≤ D ≤ 2   m para q ˙ = 100   W / m 3 .

Para isso, podemos fazer o diagrama esquemático de um fardo cilíndrico de feno com o tubo passando dentro.

Também podemos fazer o diagrama do tubo de raio r 1 de parede fina, inserido longitudinalmente no meio de um fardo cilíndrico de feno.

Passo 2

PRESSUPOSTOS:

(1) Condições em estado estacionário;

(2) Propriedades constantes;

(3) Transferência de calor unidimensional;

(4) Geração volumétrica uniforme;

(5) Radiação desprezível;

(6) Condução desprezível de ou para o solo.

DADOS FORNECIDOS:

Diâmetro do fardo cilíndrico de feno: D = 2   m

Raio do fardo cilíndrico de feno: r 2 = 1   m

Diâmetro do tubo: d = 30   m m = 0,03   m

Raio do tubo: r 1 = 15   m m = 0,015   m

Condutividade térmica do feno no fardo: k = 0,04   W / m · K

Taxa volumétrica de geração de calor uniforme para o feno molhado: q ˙ = 100   W / m 3

Temperatura ambiente: T ∞ , o = 0 ℃

Coeficiente de transferência de calor por convecção: h o = 25   W / m 2 · K

Temperatura da água que passa no tubo: T ∞ , i = 20 ℃

Coeficiente de transferência de calor do tubo para a água: h i = 200   W / m 2 · K

Passo 3

Para resolver esse problema, vamos precisar da distribuição de temperatura para um cilindro em que ocorre a geração interna de calor. Podemos obter utilizando a solução geral dada pela Eq. 3.56 com condições de contorno mistas aplicadas em r 1 e r 2 . Especificamente,

Para r 1 :

- k d T d r r = r 1   = h i T ∞ , i - T s , 1

Para r 2

- k d T d r r = r 2   = h i T s , 2 - T ∞ , o

Temos que a Eq. 3.56 é a seguinte:

T r = - q ˙ 4 k r 2 + C 1 ln ⁡ r + C 2

Aqui, q ˙ é o calor interno gerado, k é a condutividade térmica do material, r é o raio do cilindro e C 1 e C 2 são as constantes de integração.

Passo 4

Agora vamos procurar C 1 e C 2 aplicando as condições de contorno. Pela primeira condição temos o seguinte:

- k d T d r r = r 1   = h i T ∞ , i - T s , 1

Substituindo os temos da expressão acima, temos:

- k d d r - q ˙ 4 k r 2 + C 1 ln ⁡ r + C 2 r = r 1   = h i T ∞ , i + q ˙ 4 k r 1 2 - C 1 ln ⁡ r 1 - C 2

- k - q ˙ 2 k r + C 1 r r = r 1   = h i T ∞ , i + q ˙ 4 k r 1 2 - C 1 ln ⁡ r 1 - C 2

q ˙ 2 r 1 - k C 1 r 1 = q ˙ h i 4 k r 1 2 - h i C 1 ln ⁡ r 1 - h i C 2 + h i T ∞ , i

h i C 1 ln ⁡ r 1 - k C 1 r 1 + h i C 2 = - q ˙ 2 r 1 + q ˙ h i 4 k r 1 2 + h i T ∞ , i

Passo 5

Pela segunda condição temos o seguinte:

- k d T d r r = r 2   = h i T s , 2 - T ∞ , o

Substituindo os temos da expressão acima, temos:

- k d d r - q ˙ 4 k r 2 + C 1 ln ⁡ r + C 2 r = r 2   = h i - q ˙ 4 k r 2 2 + C 1 ln ⁡ r 2 + C 2 - T ∞ , o

- k - q ˙ 2 k r + C 1 r r = r 2   = h i - q ˙ 4 k r 2 2 + C 1 ln ⁡ r 2 + C 2 - T ∞ , o

q ˙ 2 r 2 - k C 1 r 2 = - q ˙ h i 4 k r 2 2 + h i C 1 ln ⁡ r 2 + h i C 2 - h i T ∞ , o

h i C 1 ln ⁡ r 2 + k C 1 r 2 + h i C 2 = q ˙ 2 r 2 + q ˙ h i 4 k r 2 2 + h i T ∞ , o

Passo 6

Subtraindo a equação encontrada no passo 4 com a equação encontrada no passo 5, temos o seguinte:

h i C 1 ln ⁡ r 2 + k C 1 r 2 + h i C 2 - h i C 1 ln ⁡ r 1 - k C 1 r 1 + h i C 2 = q ˙ 2 r 2 + q ˙ h i 4 k r 2 2 + h i T ∞ , o - - q ˙ 2 r 1 + q ˙ h i 4 k r 1 2 + h i T ∞ , i

h i C 1 ln ⁡ r 2 + k C 1 r 2 + h i C 2 - h i C 1 ln ⁡ r 1 + k C 1 r 1 - h i C 2 = q ˙ 2 r 2 + q ˙ h i 4 k r 2 2 + h i T ∞ , o + q ˙ 2 r 1 - q ˙ h i 4 k r 1 2 - h i T ∞ , i

h i C 1 ln ⁡ r 2 + k C 1 r 2 - h i C 1 ln ⁡ r 1 + k C 1 r 1 = q ˙ 2 r 2 + q ˙ h i 4 k r 2 2 + h i T ∞ , o + q ˙ 2 r 1 - q ˙ h i 4 k r 1 2 - h i T ∞ , i

C 1 h i ln ⁡ r 2 / r 1 + k 1 r 2 + 1 r 1 = q ˙ 2 r 2 + r 1 + h i q ˙ 4 k r 2 2 - r 1 2 + T ∞ , o - T ∞ , i

C 1 = q ˙ 2 r 2 + r 1 + h i q ˙ 4 k r 2 2 - r 1 2 + T ∞ , o - T ∞ , i h i ln ⁡ r 2 / r 1 + k 1 r 2 + 1 r 1

Substituindo os temos da equação acima pelos dados fornecidos, temos que C 1 é o seguinte:

C 1 = 100 W m 3 2 1   m + 0,015   m + 200 W m 2 · K 100 W m 3 4 0,04 W m · K 1   m 2 - 0,015   m 2 + 0 ℃ - 20 ℃ 200 W m 2 · K ln ⁡ 1   m 0,015   m + 0,04 W m · K 1 1   m + 1 0,015   m

C 1 = 143,62 ℃

Passo 7

Da equação encontrada no passo 5 temos o seguinte:

h i C 1 ln ⁡ r 2 + k C 1 r 2 + h i C 2 = q ˙ 2 r 2 + q ˙ h i 4 k r 2 2 + h i T ∞ , o

h i C 2 = q ˙ 2 r 2 + q ˙ h i 4 k r 2 2 + h i T ∞ , o - h i C 1 ln ⁡ r 2 - k C 1 r 2

C 2 = q ˙ 2 r 2 h i + r 2 2 2 k - C 1 ln ⁡ r 2 - k h i r 2 + T ∞ , o

Substituindo os termos da equação pelos dados obtidos, temos o seguinte:

C 2 = 100 W m 3 2 1   m 200 W m 2 · K + 1   m 2 2 0,04 W m · K - 143,62 ℃ ln ⁡ 1   m - 0,04 W m · K 200 W m 2 · K 1   m + 0 ℃

C 2 = 625,28 ℃

Passo 8

Temos então que:

C 1 = 143,62 ℃

C 2 = 625,28 ℃

Substituindo na solução geral da distribuição de temperatura temos que a equação fica da seguinte maneira:

T r = - q ˙ 4 k r 2 + 143,62 ℃ ln ⁡ r + 625,28 ℃

Substituindo q ˙ e k , temos que a equação fica da seguinte forma:

T r = - 100   W / m 3 4 0,04   W / m ⋅ K r 2 + 143,62 ℃ ln ⁡ r + 625,28 ℃

T r = - 625 ℃ / m 2   r 2 + 143,62 ℃ ln ⁡ r + 625,28 ℃

Passo 9

(a) Com a equação da distribuição de temperatura, vamos calcular a temperatura na superfície interna do tubo de parede fina. Assim, para r = 0,015   m temos o seguinte:

T s , 1 = T 0,015 = - 625 ℃ / m 2   0,015   m 2 + 143,62 ℃ ln ⁡ 0,015 + 625,28 ℃

T s , 1 = 21,97 ℃

Agora, vamos calcular a taxa de transferência de calor em estado estacionário usando a equação de convecção. Assim temos:

q = h i A s T s , 1 - T ∞ , i

q = h i 2 π r 1 L T s , 1 - T ∞ , i

q L = h i 2 π r 1 T s , 1 - T ∞ , i

q ' = h i 2 π r 1 T s , 1 - T ∞ , i

Aqui, h i é o coeficiente de convectivo ente a água e o tubo, A c é a área da superfície interna, T s , 1 é a temperatura da superfície do tubo, T ∞ , i é temperatura da água, r 1 é o raio do tubo e q ' é a taxa de transferência de calor por comprimento do tubo. Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos temos:

q ' = 2 π 200   W / m 2 · K 0,015   m 21,97 ℃ - 20 ℃

q ' = 37,11   W / m

Portanto, a taxa de transferência de calor em estado estacionário é  37,11   W / m .

Passo 10

(b) Agora, vamos representar graficamente a distribuição radial de temperaturas no feno, T ( r ) . Para isso, vamos calcular o raio do feno úmido na temperatura máxima.

d T d x = 0

- 2 × 625   r + 143,62 r = 0

1250   r 2 = 143,62

r = 0,34   m

A temperatura quando r é 0,34   m é a seguinte:

T r = - 625 0,34 2   + 143,62 ln ⁡ 0,34 + 625,28

T r = 398,20 ℃

Usando a distribuição de temperatura que encontramos podemos fazer a seguinte tabela:

Com a tabela podemos traçar a distribuição radial da temperatura no feno. Assim temos:

Passo 11

(c) Para resolver essa questão, vamos precisar de da equação que encontramos para C 1

C 1 = q ˙ 2 r 2 + r 1 + h i q ˙ 4 k r 2 2 - r 1 2 + T ∞ , o - T ∞ , i h i ln ⁡ r 2 / r 1 + k 1 r 2 + 1 r 1

da equação que encontramos para C 2

C 2 = q ˙ 2 r 2 h i + r 2 2 2 k - C 1 ln ⁡ r 2 - k h i r 2 + T ∞ , o

da solução geral da distribuição de temperatura que encontramos T r

T r = - q ˙ 4 k r 2 + C 1 ln ⁡ r + C 2

e também da equação para a taxa de transferência de calor

q ' = h i 2 π r 1 T s , 1 - T ∞ , i

Com essas 4 equações, nós podemos fazer a seguinte tabela em função do raio feno r 2 .

Agora, podemos plotar o gráfico da transferência de calor por unidade de comprimento do tubo para a água em função do diâmetro do feno. Neste caso representamos pelo raio.

Resposta

(a)

q ' = 37,11   W / m

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