Enunciado

Em uma parede plana com espessura 2 L = 5 0   m m e condutividade térmica k = 5   W / ( m · K ) há geração de calor volumétrica uniforme a uma taxa, enquanto transferência de calor por convecção ocorre em suas duas superfícies ( x = - L , + L ) , cada uma exposta a um fluido com temperatura T ∞ = 3 0 ° C . Em condições de regime estacionário, a distribuição de temperaturas no interior da parede tem a forma T ( x ) = a + b x + c x 2 , sendo a = 8 6 , 0 ° C , b = - 2 0 0 ° C / m , c = 2 × 10 4 ° C / m 2 e x está em metros. A origem da coordenada x encontra-se no plano central da parede.

(a) Esboce a distribuição de temperaturas.

(b) Qual é a taxa volumétrica de geração de calor na parede?

(c) Determine os fluxos térmicos nas superfícies, q x ' ' ( - L ) e q x ' ' ( + L ) . Como esses fluxos estão relacionados com a taxa de geração de calor?

(d) Quais são os coeficientes de transferência de calor por convecção nas superfícies x = - L e x = + L ?

(e) Obtenha uma expressão para a distribuição de fluxos térmicos, q x ' ' ( x ) . O fluxo térmico é nulo em algum local?

(f) Se a fonte da geração térmica for subitamente desativada ( q ˙ = 0 ) , qual é a taxa de variação da energia acumulada na parede neste instante?

(g) Com q ˙ = 0 , qual temperatura a parede atingirá após um longo período de tempo? Que quantidade de energia tem que ser removida da parede pelo fluido, por unidade de área da parede ( J / m 2 ) , para ela atingir esse estado? A massa específica e o calor específico do material da parede são 2600   k g / m 3 e 800   J / ( k g · K ) , respectivamente.

Passo 1

Me acompanha na resolução dessa questão!

Fica de olho para não se perder!

Letra a)

Começamos a questão esboçando a distribuição de temperaturas:

T ( x ) = a + b x + c x 2  

Substituindo os parâmetros dados:

T x = 86 - 200 x - 20000 x 2

Plotando um gráfico para essa distribuição:

Percebemos:

- Trajetória Parabólica;

- O máximo não ocorre no plano médio T - 0,005 = 86,5 ° C ;

- O gradiente na superfície x = + L é maior do que em x = - L .

Passo 2

Letra b)

Calculando a taxa volumétrica de geração de calor na parede:

d d x d T d x + q ˙ k = 0

Substituindo a equação de distribuição de temperatura:

d d x d d x 86 - 200 x - 20000 x 2 + q ˙ k = 0

d d x - 200 - 40000 x + q ˙ k = 0

- 40000 + q ˙ k = 0

Substituindo os dados:

- 40000 + q ˙ 5 = 0

q ˙ = 2 × 10 5   W / m 3

Passo 3

Letra c)

Determinando os fluxos térmicos nas superfícies:

q x ' ' x = - k d T d x

Substituindo a equação de distribuição de temperatura:

q x ' ' x = - k d d x 86 - 200 x - 20000 x 2

q x ' ' x = - k - 200 - 40000 x

Para - L :

q x ' ' - L = - 5 ⋅ - 200 - 40000 ⋅ - 0,02 5

q x ' ' - L = - 4 000   W / m 2

Do mesmo modo, para + L :

q x ' ' + L = - 5 ⋅ - 200 - 40000 ⋅ 0,02 5

q x ' ' + L = 6 000   W / m 2

Esses fluxos estão relacionados com a taxa de geração de calor da seguinte forma:

q x ' ' - L - q x ' ' + L + 2 L q ˙ = 0

- 4 000 - 6 000 + 2 × 10 5 ⋅ 2 ⋅ 0,02 5 = 0

- 8000 + 10 000 = 0

Passo 4

Letra d)

Determinando os coeficientes de transferência de calor por convecção nas superfícies x = - L e x = + L .

Para x = - L   :

q c v , l ' ' = q x ' ' - L

h l T ∞ - T - L = h 1 30 - 82 = - 4 000

h l = 77   W / m 2 ⋅ K

Para x = + L :

q c v , r ' ' = q x ' ' + L

h r T + L - T ∞ = h 1 74 - 30 = 6 000

h r = 1 36,7   W / m 2 ⋅ K

Passo 5

Letra e)

Obtendo uma expressão para a distribuição de fluxos térmicos, q x ' ' ( x ) .

q x ' ' x = - k d T d x

q x ' ' x = - k ( - 200 - 40000 x )

q x ' ' x = - 5 ⋅ ( - 200 - 40000 x )

q x ' ' x = 1000 + ( 2 × 10 5 ) x

O fluxo térmico é nulo em algum local?

Vamos conferir!

x m á x = - 1000 2 × 10 5

x m á x = - 0,005   m

Passo 6

Letra f)

Calculando a taxa de variação da energia acumulada na parede:

k ∂ ∂ x ∂ T ∂ x

E ˙ s t ' ' = - 40000 ⋅ k

E ˙ s t ' ' = - 40000 ⋅ 5

E ˙ s t ' ' = - 2 × 10 5   W / m 3

Passo 7

Letra g)

Com q ˙ = 0 , qual temperatura a parede atingirá após um longo período de tempo?

Com q ˙ = 0 , a parede estará em equilíbrio com o fluido, assim, teremos que sua temperatura final será T f = T ∞ = 3 0 ° C .

Que quantidade de energia tem que ser removida da parede pelo fluido, por unidade de área da parede ( J / m 2 ) , para ela atingir esse estado?

Aplicando um balanço de energia em nosso sistema, temos que:

E e n t ' ' - E s a i ' ' = ∆ E s t ' ' = E f ' ' - E i ' '

Com:

E e n t ' ' = 0

Temos:

- E s a i ' ' = ρ c p 2 L T f - T ∞ - ρ c p ∫ - L + L ( T i - T ∞ ) d x

E s a i ' ' = ρ c p ∫ - L + L a + b x + c x 2 - T ∞ d x = ρ c p a x + b x 2 2 + c x 3 3 - T ∞ x + L - L

E s a i ' ' = ρ c p 2 a L + 0 + 2 c x 3 3 - 2 T ∞ L

E s a i ' ' = 2600 ⋅ 800 ⋅ 2 ⋅ 86 ⋅ 0,02 5 + 2 ⋅ 2 × 10 4 ⋅ 0,02 5 3 3 + 2 ⋅ 30 ⋅ 0,02 5

E s a i ' ' = 12,497 × 10 6   J / m 2

Até a próxima questão!

Resposta

a )   G r á f i c o

b )   q ˙ = 2 × 10 5   W / m 3

c )   q x ' ' - L = - 4 000 W m 2 ; q x ' ' + L = 6 000   W / m 2

d )     h l = 7 7 W m 2 ⋅ K ;   h r = 136,7 W m 2 ⋅ K

e )   q x ' ' x = 1000 + 2 × 10 5 x ;   x m á x = - 0,005   m

f )   E ˙ s t ' ' = - 2 × 10 5   W / m 3

g )   E s a i ' ' = 12,497 × 10 6   J / m 2    

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