Enunciado

Observa-se que a distribuição de temperaturas, em estado estacionário, no interior de uma parede unidimensional com condutividade térmica de 50 W / ( m   ·   K )   e espessura de 50   m m   tem a forma   T ( ° C )   =   a   +   b x 2 , onde   a   =   200 ° C , b   =   – 2000 ° C / m 2 e x está em metros.

(a) Qual a taxa de geração de calor na parede?

(b) Determine os fluxos térmicos nas duas superfícies da parede. De que modo esses fluxos térmicos estão relacionados com a taxa de geração de calor?

Passo 1

Nessa questão nós temos a distribuição de temperatura em uma parede unidimensional com espessura e condutividade térmica definidas. Esquematicamente temos:

E o enunciado está pedindo pra gente encontrar a taxa de geração de calor, q ˙ , na parede e os fluxos de calor nas faces da parede e em relação a q ˙ ,   ou seja, q x ' ' ( 0 ) e q x ' ' ( L ) . Então vamos lá!

Passo 2

Para resolver essa questão, vamos assumir que estamos em condição de estado estacionário, o fluxo de calor é adimensional e as propriedades são constantes.

Resolvendo a letra (a), usaremos a forma apropriada da equação do calor para condições unidimensionais em estado estacionário com propriedades constantes:

q ˙ = - k d d x d T d x

Substituindo a distribuição de temperatura na equação acima, temos:

q ˙ = - k d d x d d x a + b x 2 = - k d d x 2 b x = - 2 b k

Substituindo os valores,

q ˙ = - 2 - 20 0 0 ° C m 2 × 50 W m . K

q ˙ = 2,0 × 10 5   W / m 3

Passo 3

Já na letra (b), queremos encontrar os fluxos térmicos nas duas superfícies da parede. Para isso, vamos utilizar a Lei de Fourier:

q x ' ' x = - k d T d x x

Usando a distribuição de temperatura T   ( x )   para analisar o gradiente, temos:

q x ' ' x = - k d d x a + b x 2 = - 2 k b x  

O fluxo para x = 0 é:

q x ' ' 0 = 0

E quando x = L :

q x ' ' L = - 2 k b L = - 2 × 50 W m . K - 2000 ° C m 2 × 0,050   m

q x ' ' L = 10000   W / m 2

Resposta

  1. q ˙ = 2,0 × 10 5   W / m 3
  2. q x ' ' 0 = 0       e       q x ' ' L = 10000   W / m 2

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