Enunciado

No processo de recozimento, uma placa de aço inoxidável de 50   m m de espessura ( ρ = 8.238   k g / m 3 ,   c p = 468   J / k g ⋅ K   ,   k = 13,4   W / m ⋅ K   e   α = 3,48 × 10 - 6   m 2 / s ) foi reaquecida no forno a uma temperatura uniforme inicial de 230 ℃ . A temperatura ambiente no interior do forno está a temperatura uniforme de 1.000 ℃ , e o coeficiente de transferência de calor por convecção é de 215   W / m 2 ⋅ K . Considerando que a chapa de aço inoxidável deve ser toda aquecida a pelo menos 600 ℃ , determine o tempo que a placa deve ser aquecida no forno usando ( a ) Tab.4-2 e b o gráfico de Heisler (Fig. 4-16).

Passo 1

a) O primeiro passo para resolver essa questão é calcular o número do Biot usando a seguinte relação:

B i = h L k

Aqui,  h  é o coeficiente de transferência de calor por convecção e k  é a condutividade térmica da placa de aço inoxidável. Substituindo os valores pelos dados fornecidos no enunciado, temos:

B i = 215   W / m 2 ⋅ K × 0,025   m 13,4   W / m ⋅ K

B i = 0,4

Com o numero de Biot encontrado, podemos obter os coeficientes λ 1 e A 1 correspondentes ao número de Biot  B i = 0 , 4 , na tabela 4-2 “coeficiente usado para aproximação dimensional da condução de calor transiente e unidimensional em parede plana”. Assim temos:

λ 1 = 0,5932

A 1 = 1,0580

Passo 2

Agora, podemos calcular a o número de Fourier usando a relação de temperatura adimensional. Assim temos:

θ o , p a r e d e = T o - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ cos ⁡ λ 1 x L

θ o , p a r e d e = T o - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ

Aqui,  T o é a temperatura de plano central da placa, após aquecimento,  T ∞ é a temperatura ambiente do forno,  T i é que a temperatura inicial da placa,  A 1 λ 1 são as constantes, e  τ é o número de Fourier. Substituindo 600 ℃ por  T o , 1000 ℃ por  T ∞ , 230 ℃ por  T i , 0,5932 por  λ 1 e 1,0580 por  A 1 .

600 ℃ - 1000 ℃ 230 ℃ - 1000 ℃ = 1,0580 × e - 0,5932 2 τ

0,52 = 1,0580 × e - 0,5932 2 τ

0,491 = e - 0,5932 2 τ

ln ⁡ 0,491 = ln ⁡ e - 0,5932 2 τ

- 0,7113 = - 0,5932 2 τ

τ = 2,0214

Passo 3

Com o número de Fourier encontrados, podemos calcular o tempo que a placa deve ser aquecida no forno usando a seguinte relação:

τ = α t L 2

Isolando o tempo temos:

t = τ L 2 α

Aqui,  t  é o tempo em que a placa deve ser aquecida,  α é a difusividade térmica e  L é o comprimento crítico. Substituindo as variáveis pelos dados fornecidos no enunciado e encontrados nos passos anteriores, temos:

t = 2,0214 × 0,025   m 2 3,48 × 10 - 6   m 2 / s

t = 362,97   s

t = 6,05   m i n

Portanto, o tempo para que a placa seja aquecida no forno é  6,05   m i n .

Passo 4

b) Para determine o tempo que a placa deve ser aquecida no forno usando o gráfico de Heisler, podemos começar calculando o inverso do número Biot. Assim temos:

1 B i = 1 0,4

1 B i = 2,5

Agora, calculamos a temperatura adimensional da placa usando a seguinte relação:

θ o , p a r e d e = T o - T ∞ T i - T ∞

Substituindo as variáveis pelos dados fornecidos no enunciado, temos:

θ o , p a r e d e = 600 ℃ - 1000 ℃ 230 ℃ - 1000 ℃

θ o , p a r e d e = 0,52

Passo 5

Com o inverso do número de Biot 1 B i = 2,5 e a temperatura adimensional θ o , p a r e d e = 0,52 , podemos obter o número de Fourier no gráfico Heisler (Figura 4-16 ( a )).

Pelo gráfico, temos que o número de Fourier é:

τ = 2,1

Com o número de Fourier encontrados, podemos calcular o tempo que a placa deve ser aquecida no forno usando a seguinte relação:

τ = α t L 2

Isolando o tempo temos:

t = τ L 2 α

Aqui,  t  é o tempo em que a placa deve ser aquecida,  α é a difusividade térmica e  L é o comprimento crítico. Substituindo as variáveis pelos dados fornecidos no enunciado e encontrados nos passos anteriores, temos:

t = 2,1 × 0,025   m 2 3,48 × 10 - 6   m 2 / s

t = 3 77 , 15   s

t = 6 , 286   m i n

Portanto, o tempo para que a placa seja aquecida no forno é  6,286   m i n .

Resposta

a) t = 6,05   m i n

b) t = 6,286   m i n

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