Enunciado

29 - Reconsiderar Prob. 9-28. Para reduzir o custo do aquecimento da água quente, propõe-se isolar as superfícies laterais e inferiores do recipiente com isolamento de fibra de vidro de 5   c m de espessura (   k = 0,035   W /   m ⋅ K )   e envolver o isolamento com alumínio folha ( ε   =   0,1 ) para minimizar a perda de calor por radiação. É obtida uma estimativa de um empreiteiro local de isolamento, que propõe fazer o trabalho de isolamento por U S   $   350 , incluindo materiais e mão-de-obra. Você apoiaria esta proposta? Quanto tempo leva para o isolamento pagar a si próprio com a energia que economiza?

Passo 1

Para não ficarmos perdidos nesse enunciado gigante, vamos aos dados fornecidos:

Temperatura do banho de água  T s = 60   ℃

Profundidade do banho-maria  L = 0,5   m

Temperatura do ar circundante T ∞ = 20   ℃  

Emissividade ε = 0,7

Dimensões do contêiner  3,5   m × 1   m

Custo da eletricidade  U S   $   0,085 / k W h

Horas de operações, t = 8769   h

Espessura do isolamento de fibra de vidro,  b = 5   c m

Condutividade térmica do isolamento de fibra de vidro,  k = 0,035 W m ⋅ k

Passo 2

A taxa de transferência de calor pode ser calculada como:

Q ˙ = h A s ( T s - T ∞ )

h A S são desconhecidos aqui, para que encontre o coeficiente de transferência de calor. Então bora achar!!!

Vamos calcular a temperatura de filme, para obter os dados restantes, antes de prosseguirmos com os cálculos.

T f = T s + T ∞ 2

= 60 + 20 2

T f = 40   ℃

Portanto, temos as seguintes propriedades do ar para a pressão de 1   a t m e T f = 40   ℃ .

A Condutividade térmica é:

k = 0,02662   W m ⋅ ℃

A Viscosidade cinemática é:

v = 1,702 × 10 - 5   m 2 s

O número Prandtl é:

P r = 0,7255

A gravidade é:

g = 9,81   m / s 2

Passo 3

O Coeficiente de expansão é:

β = 1 T f

= 1 40 + 273

β = 0,00319488   K - 1

Encontre o comprimento da característica.

L c = L

= 0,5   m

Usando os valores acima, o número Rayleigh se torna:

R a D = g β T s - T ∞ D 3 v 2 P r

= 9,81 × ( 0,00319488 ) 60 - 20 0,5 3 1,702 × 10 - 5 2 × ( 0,7255 )

= 3,9247 × 10 8

Passo 4

Usando o número de Rayleigh, calcule  N u (número de Nusselt):

N u = 0,825 + 0,387 R a D 1 6 1 + 0,492 P r 9 16 8 27 2

= 0,825 + 0,387 3,9247 × 10 8 1 6 1 + 0,492 0,7255 9 16 8 27 2

N u = 92,495

Passo 5

O coeficiente de transferência de calor por convecção é determinado a partir da equação dada por:

N u = h L k

Reescreva para achar h :

h = N u × k L

= 92,495 × 0,02662 0,5

= 4,9244   W m 2 ⋅ ℃

Área de superfície,

A s = 2 [ C o m p r i m e n t o × P r o f u n d i d a d e + L a r g u r a × P r o f u n d i d a d e ]

= 2 [ 3,5 × 0,5 + ( 1 × 0,5 ) ]

A s = 4,5   m 2

Passo 6

Escreva a equação da perda de calor devido à convecção.

Q ˙ c o n v = h A s T s - T ∞

= 4,9244 ⋅ 4,5 × 60 - 20

= 886,392   W

Portanto, o calor perdido devido à convecção é Q ˙ = 886,392   W .

Passo 7

A perda de calor por radiação é:

Q ˙ r a d = ε A σ ( T s 4 - T ∞ 4 )  

= 0,7 × 4,5 × 5,67 × 10 - 8 × [ 60 + 273 4 - 20 + 273 4 ]

Q ˙ r a d = 879,865   W

Passo 8

Portanto, a perda total de calor é dada por:

Q t o t a l = Q c o n v + Q r a d

= 886,392 + 879,865

Q t o t a l = 1,7662   k W

Passo 9

Lembrando que esse calor total é dado por hora, por isso para achar a perda anual é só multiplicar pelas horas totais, fornecidas no enunciado.

Q = Q t o t a l × 8760   h

= 1,7622   k W × 8760   h

Q = 15471,91   k W ⋅ h

Agora para obtermos o custo total, basta multiplicarmos pelo valor da eletricidade.

= 15471,91 × 0,085

= $   1315,11

O custo anual total do calor perdido é de $   1315,11 .

Passo 10

Agora, as superfícies lateral e inferior do contêiner são isoladas com isolamento de  5     c m de fibra de vidro espessa, de modo que a temperatura da superfície externa cai para o valor mais próximo da temperatura ambiente.

Assuma a temperatura da superfície,  T s = 26   ℃

A temperatura do banho de água,  T t a q u e = 60   ℃

O custo para realizar trabalhos de isolamento,  c u s t o = $ 350

Vamos calcular a temperatura de filme, para obter os dados restantes, antes de prosseguirmos com os cálculos.

T f = T s + T ∞ 2

= 26 + 20 2

T f = 23   ℃

Portanto, temos as seguintes propriedades do ar para a pressão de 1   a t m e T f = 23   ℃ .

A Condutividade térmica é:

k = 0,02536   W m ⋅ ℃

A Viscosidade cinemática é:

v = 1,543 × 10 - 5   m 2 s

O número Prandtl é:

P r = 0,7301

A gravidade é:

g = 9,81   m / s 2

Passo 11

O Coeficiente de expansão é:

β = 1 T f

= 1 23 + 273

β = 0,00338   K - 1

Encontre o comprimento da característica.

L c = D

= 0,5   m

Usando os valores acima, o número Rayleigh se torna:

R a D = g β T s - T ∞ D 3 v 2 P r

= 9,81 × ( 0,00338 ) 26 - 20 0,5 3 1,543 × 10 - 5 2 × ( 0,7301 )

= 7,622 × 10 7

Passo 12

Usando o número de Rayleigh, calcule  N u (número de Nusselt):

N u = 0,825 + 0,387 R a D 1 6 1 + 0,492 P r 9 16 8 27 2

= 0,825 + 0,387 7,622 × 10 7 1 6 1 + 0,492 0,7301 9 16 8 27 2

N u = 56,53

Passo 13

O coeficiente de transferência de calor por convecção é determinado a partir da equação dada por:

N u = h L k

Reescreva para achar h :

h = N u × k L

= 56,53 × 0,02532 0,5

= 2,868   W m 2 ⋅ ℃

Área de superfície,

A s = 2 [ ( C o m p r i m e n t o × 2 i s o l a m e n t o × P r o f u n d i d a d e ) + ( L a r g u r a × 2 i s o l a m e n t o × P r o f u n d i d a d e ) ]

= 2 [ ( 3,5 + 2 × 0,05 × 0,5 ) + ( 1 × 0,05 × 0,5 ) ]

A s = 4,7   m 2

Passo 14

Escreva a equação da perda de calor devido à convecção.

Q ˙ c o n v = h A s T s - T ∞

= 2,868 ⋅ 4,7 × 26 - 20

= 80,8776   W

Portanto, o calor perdido devido à convecção é Q ˙ = 80,8776   W .

Passo 15

A perda de calor por radiação é:

Q ˙ r a d = ε A σ ( T s 4 - T ∞ 4 )  

= 0,1 × 4,7 × 5,67 × 10 - 8 × [ 26 + 273 4 - 20 + 273 4 ]

Q ˙ r a d = 16,5886   W

Passo 16

Portanto, a perda total de calor é dada por:

Q t o t a l = Q c o n v + Q r a d

= 80,8776 + 16,5886

Q t o t a l = 97,5   k W

Passo 17

A perda de calor da superfície do isolamento por convecção e radiação é igual à perda de calor através do isolamento por condução,

Q = Q i s o l a n t e

97,5 = k A s T t a n q u e - T s L

97,5 = 0,035 × 4,7 × 60 - T s 0,05

T s = 30,364   ℃

Portanto, a temperatura da superfície do isolamento é próxima do valor assumido.

Passo 18

Lembrando que esse calor total é dado por hora, por isso para achar a perda anual é só multiplicar pelas horas totais, fornecidas no enunciado.

Q = Q t o t a l × 8760   h

= 97,5   k W × 8760   h

Q = 853,7   k W ⋅ h

Agora para obtermos o custo total, basta multiplicarmos pelo valor da eletricidade.

= 853,7 × 0,085

= $   72,6

O custo anual total do calor perdido é de $   1315,11 .

Passo 19

O dinheiro economizado durante um ano devido ao isolamento,

D i n h e i r o   e c o n o m i z a d o = C u s t o s e m i s o l a m - C u s t o c o m i s o l a m

= $ 1315,11 - $ 72,6

= $ 1242,51

Passo 20

O período para o isolamento se pagar da energia que economiza é:

R e t o r n o   d o   i n v e s t i m e n t o = c u s t o D i n h e i r o   p o u p a d o

= $ 350 $ 1242,51   p o r   a n o r

= 0,2814   p o r   a n o × 365 d i a s a n o

= 102   d i a s

Portanto, apoiaríamos a proposta do fornecedor, já que o isolamento se paga em apenas 102 dias com a energia economizada.

Resposta

Apoiaríamos a proposta do fornecedor, já que o isolamento se paga em apenas 102 dias com a energia economizada.

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