Enunciado

Rejeitos radioativos ( k r r = 20 W/(m · K)) são armazenados em um recipiente esférico de aço inoxidável ( k a i = 15 W/(m · K)), com raios interno e externo iguais a r i = 0,5 m e r e = 0,6 m. Calor é gerado no interior dos rejeitos a uma taxa volumétrica uniforme q ˙ = 10 5   W / m 3 e a superfície externa do recipiente está exposta a um escoamento de água no qual h = 1000 W/(m² · K) e T ∞ = 25°C.

(a) Calcule a temperatura da superfície externa T s , e , em condições de regime estacionário.

(b) Calcule a temperatura da superfície interna T s , i , em condições de regime estacionário.

(c) Obtenha uma expressão para a distribuição de temperaturas, T(r), nos rejeitos radioativos. Expresse o seu resultado em termos de r i , T s , i , k r r e q ˙ . Calcule a temperatura em r = 0.

(d) Uma extensão proposta para o projeto anterior envolve o armazenamento de rejeitos radioativos com a mesma condutividade térmica e duas vezes a taxa de geração de calor ( q ˙ = 2.10 5   W / m 3 ) em um recipiente de aço inoxidável com raio interno equivalente ( r i = 0,5 m). Considerações de segurança ditam que a temperatura máxima do sistema não deve exceder 475°C e que a espessura da parede do recipiente não deve ser inferior a t = 0,04 m, sendo preferencialmente igual ou próxima à do projeto original (t = 0,1 m). Avalie o efeito da variação do coeficiente convectivo externo até o valor máximo atingível de h = 5000 W/(m² · K) (através do aumento da velocidade da água), e da espessura da parede do recipiente. A extensão proposta é factível? Caso afirmativo, recomende condições operacionais e de projeto apropriadas para h e t, respectivamente.

Passo 1

Tá legal! Para começar a letra (a) vamos aplicar o equilíbrio de energia para o recipiente em questão, onde sabemos que toda a energia gerada sai do recipiente por convecção para a água, então, temos:

E ˙ g = E ˙ s → q ˙ V = q c o n v

Então, reescrevendo a equação abrindo o termo de volume da esfera e da taxa de transferência de calor por convecção, temos:

q ˙ 4 3 π r i 3 = 4 π r e 2 h T s , e - T ∞ → 4 π r i 3 q ˙ 3 = 4 π r e 2 h T s , e - T ∞

T s , e = r i 3 q ˙ 3 r e 2 h + T ∞

Então, substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

T s , e = 0,5 3 10 5 3 0,6 2 1 000 + 25 → T s , e = 36,6   ° C

Passo 2

Agora, para a letra (b), nós vamos aplicar um equilíbrio de energia somente na superfície do recipiente, onde o calor trocado por condução saindo do recipiente é igual ao calor por convecção trocado com a água, então podemos escrever:

q c o n d = q c o n v

Podemos escrever o calor de condução em função da resistência térmica de condução, que é dada por:

R c o n d ' ' = r i 2 1 r i - 1 r e k a i

Dessa forma, o calor de condução pode ser escrito como:

q c o n d = A s T s , i - T s , e r i 2 1 r i - 1 r e k a i = 4 π r i 2 T s , i - T s , e r i 2 1 r i - 1 r e k a i → q c o n d = 4 π k a i T s , i - T s , e 1 r i - 1 r e

Então podemos escrever os calores como:

4 π k a i T s , i - T s , e 1 r i - 1 r e = 4 π r e 2 h T s , e - T ∞

T s , i - T s , e = 1 r i - 1 r e . r e 2 h T s , e - T ∞ k a i → T s , i = T s , e + 1 r i - 1 r e . r e 2 h T s , e - T ∞ k a i

Substituindo os valores conhecidos, temos:

T s , i = 36,6 + 1 0,5 - 1 0,6 . 0,6 2 1000 36,6 - 25 15 → T s , i = 129,4   ° C

Passo 3

Agora, para a letra (c), nós vamos escrever a equação da difusão de calor para o sistema radial, então, temos:

1 r 2 d d r k r r r 2 . d T d r + q ˙ = 0 → k r r . d d r r 2 . d T d r = - q ˙ r 2 → d d r r 2 . d T d r = - q ˙ r 2 k r r

Integrando essa expressão em r dos dois lados, obtemos:

r 2 . d T d r = - q ˙ r 3 3 k r r + C 1 → d T d r = - q ˙ r 3 k r r + C 1 r 2

Integrando novamente essa expressão em r , obtemos:

T r = - q ˙ r 2 6 k r r - C 1 r + C 2

Agora, para descobrir o valor das constantes, vamos aplicar as condições de contorno. Temos que no centro do recipiente, não há fluxo de calor, então:

r = 0 → d T d r = 0

Substituindo esses valores na equação obtida para d T / d r , chegamos em:

d T d r = - q ˙ r 3 k r r + C 1 r 2 → 0 = - q ˙ 0 3 k r r + C 1 0 2 → C 1 = 0

Para nossa outra condição de contorno, vamos utilizar a temperatura da superfície interna T s , i encontrada no passo 2. Então, temos:

r = r 1 → T = T s , i

Substituindo esses valores na expressão para a temperatura, temos:

T r = - q ˙ r 2 6 k r r - C 1 r + C 2 → T s , i = - q ˙ r i 2 6 k r r - 0 + C 2 → C 2 = q ˙ r i 2 6 k r r + T s , i

Então, a equação para o perfil de temperatura será:

T r = - q ˙ r 2 6 k r r - C 1 r + C 2 → T r = - q ˙ r 2 6 k r r + q ˙ r i 2 6 k r r + T s , i

E, então, em r = 0 , temos:

T 0 = - q ˙ 0 2 6 k r r + 10 5 0,5 2 6 20 + 129,4 → T 0 = 337,7   ° C

Passo 4

Agora, para a letra (d), nós iremos utilizar o conceito de resistência térmica. Então, a resistência total do sistema será a resistência por condução mais a resistência por convecção, então, teremos:

R t o t ' ' = R c o n d ' ' + R c o n v ' ' = r i 2 k a i 1 r i - 1 r e + 1 h r i r e 2

Agora, sabemos que pela resistência térmica, podemos escrever:

q = T s , i - T ∞ R t o t ' ' 4 π r i 2

Então, para cada r e e h , obtendo o valor de T s , i dessa equação, e depois substituindo na equação para o perfil de temperatura encontrado no passo 3 em r = 0 . Conseguimos obter a seguinte relação entre os coeficientes de convecção e as temperaturas no interior dos rejeitos radioativos:

Então, como podemos ver, nem para o melhor caso, que seria com r e = 0,54   m e h = 10000   W / m ² . K conseguimos manter a temperatura menor do que 475 °C, e como podemos ver, o incremento em h não altera significativamente o valor da temperatura no centro.

Resposta

a :   T s , e = 36,6   ° C

b :   T s , i = 129,4   ° C

c :   T 0 = 337,7   ° C

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