Enunciado

Que restrições ou condições são impostas na função corrente Ψ de maneira que ela satisfaça exatamente a equação da continuidade bidimensional incompressível por definição? Por

que essas restrições são necessárias?

Passo 1

A função corrente deve ser uma função suave de x e y , dessa forma as segundas derivadas de ψ tanto com relação a x quanto em relação a y sejam iguais independente da ordem que a derivação acontecer!

Em outras palavras a gente tem que ter isso daqui ó:

∂ 2 ψ ∂ x ∂ y = ∂ 2 ψ ∂ y ∂ x

Mas como a gente chega nisso? Vamos lá!!

Sabendo que a função corrente é descrita por:

u = ∂ ψ ∂ y ; v = - ∂ ψ ∂ x

E a equação da continuidade:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Agora, substituindo:

∂ ∂ x ∂ ψ ∂ y + ∂ ∂ y - ∂ ψ ∂ x = 0

Arrumando:

∂ 2 ψ ∂ x ∂ y - ∂ 2 ψ ∂ x ∂ y = 0

Agora se a gente passar uma das derivadas para o outro lado:

∂ 2 ψ ∂ x ∂ y = ∂ 2 ψ ∂ y ∂ x

Tcharaaam, chegamos na condição da equação da continuidade bidimensional incompressível por definição!! Essas condições são necessárias para respeitar a equação da continuidade!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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