Enunciado

Sabido que a temperatura da atmosfera varia com a altitude. Na troposfera, que se estende até uma altitude de 11   k m , por exemplo, a variação da temperatura pode ser aproximada por T = T 0 - β z , onde T 0 é a temperatura no nível do mar, que pode ser tomada como 288,15   K e β = 0,0065   K / m . A aceleração da gravidade também muda com a altitude, uma vez que

g z = g 0 1 + z 6 , 370,320 2

Onde g 0 = 9,807   m / s 2 e z é a altitude com relação ao nível do mar em m . Obtenha uma relação para a variação de pressão na troposfera (a) ignorando e (b) considerando a variação de g com a altitude.

Passo 1

Temos que a temperatura da atmosfera varia com a altitude z em uma ordem de T = T 0 - β z , enquanto a gravidade

g z = g 0 1 + z 6,370,320 2

Bem tendo em mente estas duas formulam temos que assumir que o ar é um gás ideal.

Note que para uma variação de pressão, ou seja, um d P , teremos um d z uma variação da altitude. Com isto podemos expressar a densidade do ar pela lei do gás ideal:

ρ = P R T = P R ( T 0 - β z )

a)

d P = - ρ g d z

d P = - P R T 0 - β z g   d z

Demos uma equação diferencial de duas variáveis, portanto vamos separa-las:

d P P = g d z R T 0 - β z

Passo 2

Como é uma equação diferencial homogenia, podemos simplesmente integrar os dois lados, com limites de integração de P 0     a   P e 0   a   z , pois desejamos a variação de pressão com a variação da altitude correspondente a pressão, teremos:

∫ P 0 P 1 P   d P = ∫ 0 z g R T 0 - β z   d z

ln ⁡ P P 0 = g R β ln ⁡ T 0 - β z T 0

Para simplificar a equação e também isolar a pressão, multiplicaremos a equação por Euler teremos:

P = P 0 ∙ 1 - B z T 0 g β R

Como na letra (a) a gravidade é constante, então este é resultado final.

Passo 3

b) Para letra b) a resolução será bem parecida, mas com o detalhe de que a gravidade também varia com a altitude, portanto teremos:

d P = - P R T 0 - β z g   d z

d P = - P R T 0 - β z g 0 1 + z 6,370,320 2 d z

Passo 4

Agora que temos nossa equação não podes esquecer que precisamos da variação. Como é uma equação diferencial homogenia, podemos simplesmente integrar os dois lados, com limites de integração de P 0     a   P e 0   a   z , pois desejamos a variação de pressão com a variação da altitude correspondente a pressão terá:

d P = - P R T 0 - β z g 0 1 + z 6,370,320 2 d z

Separando as variáveis:

∫ P 0 P 1 P   d P = ∫ 0 z g 0 R T 0 - β z 1 + z 6,370,320 2   d z

Integrando temos:

ln ⁡ P | P 0 P = g 0 R β 1 1 + k T 0 β ∙ 1 + k z   - 1 1 + k T 0 β 2 ln ⁡ 1 + k z T 0 - β z 0 z

Aplicando os limites de integração e também simplificando a equação, temos:

P = P 0 exp ⁡ - g 0 R β + k T 0 1 1 + 1 k z + 1 1 + k T 0 β   ln ⁡ 1 + k z 1 - β z T 0

Resposta

a) P = P 0 ∙ 1 - B z T 0 g β R

b) P = P 0 exp ⁡ - g 0 R β + k T 0 1 1 + 1 k z + 1 1 + k T 0 β   ln ⁡ 1 + k z 1 - β z T 0

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