Enunciado

Uma sala é representada pela cavidade a seguir, onde o teto (1) tem uma emissividade de 0,8 e é mantido a 40°C por elementos aquecedores elétricos nele embutidos. Também são usados aquecedores para manter o piso (2), com emissividade de 0,9, a 50°C. A parede direita (3), com

emissividade 0,7, atinge uma temperatura de 15°C em um dia frio de inverno. A parede esquerda (4) e as paredes das extremidades (5A) e (5B) são isoladas termicamente. Para simplificar a análise, trate as duas paredes das extremidades como se elas fossem uma única superfície (5). Admitindo que as superfícies sejam cinzas e difusas, determine a transferência de calor por radiação líquida em cada superfície.

Passo 1

Shooow galerinha !! Vamos que vamos ...

O problema nos pediu para achar a transferência de calor por radiação líquida em cada superfície, certo?

Para a taxa de radiação liquida transferida em uma superfície podemos usar a seguinte relação:

q i = E b i - J i 1 - ε i ε i A i = ∑ j = 1 5 J i - J j 1 A i F i j

Onde E b i é a potência emissiva, J i a radiosidade, A i a área e ε i a emissividade da superfície i.

Sabendo que a parede esquerda (4) e as paredes das extremidades (5) são isoladas termicamente:

q 4 = q 5 = 0

Vamos dar uma olhada nas equações abertas?

q 1 = E b 1 - J 1 1 - ε 1 ε 1 A 1 = J 1 - J 2 1 A 1 F 12 + J 1 - J 3 1 A 1 F 13 + J 1 - J 4 1 A 1 F 14 + J 1 - J 5 1 A 1 F 15

q 2 = E b 2 - J 2 1 - ε 2 ε 2 A 2 = J 2 - J 1 1 A 2 F 21 + J 2 - J 3 1 A 2 F 23 + J 2 - J 4 1 A 2 F 24 + J 2 - J 5 1 A 2 F 25

q 3 = E b 3 - J 3 1 - ε 3 ε 3 A 3 = J 3 - J 1 1 A 3 F 31 + J 3 - J 2 1 A 3 F 32 + J 3 - J 4 1 A 3 F 34 + J 3 - J 5 1 A 3 F 35

q 4 = 0 = J 4 - J 1 1 A 4 F 41 + J 4 - J 2 1 A 4 F 42 + J 4 - J 3 1 A 4 F 43 + J 4 - J 5 1 A 4 F 45

q 5 = 0 = J 5 - J 1 1 A 5 F 51 + J 5 - J 2 1 A 5 F 52 + J 5 - J 3 1 A 5 F 53 + J 5 - J 4 1 A 5 F 54

O que nós sabemos é:

ε 1 = 0 , 8

ε 2 = 0,9

ε 3 = 0,7

Então vamos começar pela parte fácil e achar as áreas?

A 1 = A 2 = 10   m × 6   m = 60   m 2

A 3 = A 4 = 10   m × 4   m = 40   m 2

A 5 = A 5 A + A 5 B = 2 ( 6   m × 4   m ) = 48   m 2

As potências também são tranquilas para que possamos achar, basta lembrar que:

E b i = σ T i 4

Lembrando que:

σ = 5,67 × 10 - 8   W m 2 K 4

T 1 = 40 ° C + 273 = 313   K

T 2 = 5 0 ° C + 273 = 32 3   K

T 3 = 15 ° C + 273 = 288   K

Então:

E b 1 = 5,67 × 10 - 8   W m 2 K 4 313   K 4 = 544,2   W m 2

E b 2 = 5,67 × 10 - 8   W m 2 K 4 3 2 3   K 4 = 617,2   W m 2

E b 3 = 5,67 × 10 - 8   W m 2 K 4 288   K 4 = 390,1   W m 2

Passo 2

Quanto aos fatores de forma nós precisamos olhar as figuras abaixo:

A primeira figura nós usamos para superfícies paralelas, ou seja, vamos achar F 1 2 . Fazendo a razão como mostrado:

X L = 10   m 4   m = 2,5

Y L = 6   m 4   m = 1,5

Olhando no gráfico e lembrando que a área da superfície 1 e 2 são iguais, a reciprocidade nos diz que:

F 12 = F 21 = 0,39

No mesmo gráfico podemos achar F 34 . Fazendo as novas razões:

X L = 10   m 6   m = 1,66

Y L = 4   m 6   m = 0,67

Da mesma forma que antes:

F 34 = F 43 = 0,19

Para as superfícies 1 e 3, e de maneira análoga para as superfícies 1 e 4, vamos olhar o segundo gráfico:

Z X = 4   m 10   m = 0,4

Y X = 6   m 10   m = 0,6

Dessa forma:

F 13 = F 14 = 0,19

Como a superfície 1 ocorre de maneira similar à superfície 2:

F 23 = F 24 = 0,19

Já achamos bastante, mas ainda falta, certo?

Vamos começar usando a relação da reciprocidade para achar F 32 e F 31 :

A 3 F 32 = A 2 F 23

A 5 F 51 = A 1 F 15

Substituindo:

F 32 = 60   m 2 40   m 2 0,19 = 0,285

F 31 = 60   m 2 40   m 2 0,19 = 0,285

Nós podemos usar outra relação para achar F 15 e F 35 :

F 15 = 1 - F 12 - F 13 - F 14 = 1 - 0,39 - 0,19 - 0,19

F 15 = 0,23

F 35 = 1 - F 31 - F 32 - F 34 = 1 - 0,285 - 0,285 - 0,19

F 35 = 0,24

Fizemos muito mais ainda não acabamos !! vamos usar novamente a reciprocidade para achar F 51 e F 5 3 :

A 5 F 51 = A 1 F 15

A 5 F 5 3 = A 3 F 3 5

Substituindo:

F 51 = 60   m 2 4 8   m 2 0,23 = 0,288

F 32 = 4 0   m 2 48   m 2 0 , 24 = 0,2

Vamos fazer um resumão porque assim vai fica mais fácil:

F 12 = F 21 = 0,39

F 34 = F 43 = F 13 = F 14 = F 23 = F 24 = 0,19

F 32 = F 31 = 0,285

F 15 = 0,23

F 35 = 0,24

F 51 = 0,288

F 32 = 0,2

Agora podemos substituir não é?

Passo 3

Agora podemos substituir não é ?!

Começando pela superfície 1:

544,2 - J 1 1 - 0,8 0,8 × 60 m 2 = J 1 - J 2 1 60 m 2 × 0,39 + J 1 - J 3 1 60 m 2 × 0,19 + J 1 - J 4 1 60 m 2 × 0 + J 1 - J 5 1 60 m 2 × 0,23

544,2 = 1,25 J 1 - 0,0975 J 2 - 0,0975 J 3 - 0,0975 J 4 - 0,0975 J 5                   ( 1 )

Para a superfície 2:

617,2 - J 2 1 - 0,9 0 , 9 × 60 m 2 = J 2 - J 1 1 60 m 2 × 0,39 + J 2 - J 3 1 60 m 2 × 0,19 + J 2 - J 4 1 60 m 2 × 0,19 + J 2 - J 5 1 60 m 2 × 0,23

617,2 = - 0,0433 J 1 + 1,111 J 2 - 0,0433 J 3 - 0,0433 J 4 - 0,0433 J 5                 ( 2 )

Para a superfície 3:

390,1 - J 3 1 - 0,7 0 , 7 × 4 0 m 2 = J 3 - J 1 1 4 0 m 2 × 0 , 285 + J 3 - J 2 1 40 m 2 × 0,285 + J 3 - J 4 1 40 m 2 × 0 , 19 + J 3 - J 5 1 40 m 2 × 0,2 3

390,1 = - 0,1221 J 1 - 0,1221 J 2 + 1,4284 J 3 - 0,1221 J 4 - 0,1221 J 5                 ( 3 )

Para a superfície 4:

0 = J 4 - J 1 1 40 m 2 × 0,285 + J 4 - J 2 1 40 m 2 × 0,285 + J 4 - J 3 1 40 m 2 × 0,19 + J 4 - J 5 1 40 m 2 × 0 , 24

0,285 J 1 + 0,28 5 J 2 + 0 , 19 J 3 - 1,0 J 4 + 0,24 J 5 = 0                 ( 4 )

Para a superfície 5:

0 = J 5 - J 1 1 A 5 F 51 + J 5 - J 2 1 A 5 F 52 + J 5 - J 3 1 A 5 F 53 + J 5 - J 4 1 A 5 F 54

0,288 J 1 + 0,288 J 2 + 0,208 J 3 + 0,208 J 4 - 0,992 J 5 = 0                 ( 5 )

Agora nós vamos utilizar um software para resolver estas cinco equações simultaneamente:

J 1 = 545,1 W m 2

J 2 = 607,9 W m 2

J 3 = 441,5 W m 2

J 4 = 542,3 W m 2

J 5 = 54 1 W m 2

Passo 4

Shoow de bola galerinha !! Achamos as radiosidades e agora podemos achar o calor usando a primeira parte das equações acima!!

Começando pela superfície 1:

q 1 = 544,2 - 545,1 1 - 0,8 0,8 × 60 m 2 = - 216   W

Para a superfície 2:

q 2 = 617,2 - 607,9 1 - 0,9 0,9 × 60 m 2 = 502   W 2

Para a superfície 3:

q 3 = 390,1 - 441,5 1 - 0,7 0,7 × 40 m 2 = - 4797,33   W

Para as superfícies 4 e 5 nós já sabemos:

q 4 = q 5 = 0   W

E chegamos ao fim !!

Resposta

q 1 = - 216   W

q 2 = 5022   W

q 3 = - 4797,33   W

q 4 = q 5 = 0   W

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