Enunciado

Seja uma camada-limite laminar se desenvolvendo sobre uma placa plana. O escoamento é incompressível.

a) Substitua as Equações 6.31 e 6.32 na Equação 6.38 para determinar as condições de contorno na forma dimensional associadas ao escoamento sobre uma placa plana com comprimento L.

(b) Substitua as Equações 6.31, 6.32, assim como a definição de ReL, na Equação 6.35, e compare a expressão resultante com a Equação 6.28. Note que, para uma placa plana, dp/dx = 0 e u∞ = V.

Passo 1

No item (a), devemos determinar as condições de contorno de forma dimensional associadas à camada limite de um escoamento sobre uma placa plana com comprimento L.

Primeiro, vamos dar uma olhada nas equações que devemos utilizar:

Primeiramente, temos a Equação 6.31 que explicita uma expressão para as variáveis dependentes adimensionais, nas duas direções do plano:

x * = x L   e   y * = y L

Sendo L o comprimento característico da placa.

A Equação 6.32, por outro lado, é uma expressão para as velocidades adimensionais:

u * = u V   e   v * = v V

Sendo V   a velocidade a montante da placa.

A Equação 6.38 apresenta as condições de contorno de velocidades adimensionais de Parede e de Corrente Livre, que são, respectivamente:

u * ( x * , 0 ) = 0

u * ( x * , ∞ ) = u ∞ V

Sendo u ∞ a velocidade da corrente livre

Vamos, então, substituir as equações 6.31 e 6.32 nas equações 6.38:

u * x * , 0 = 0 → u V x L , 0 = 0 → u x L , 0 = 0

u * x * , ∞ = u ∞ V → u V x L , ∞ = u ∞ V → u x L , ∞ = u ∞

Passo 2

Agora devemos olhar para a Equação 6.41, com a definição do Parâmetro de Similaridade R e L :

R e L = V L ν

Além disso, observe a Equação 6.35:

u * ∂ u * ∂ x * + v * ∂ v * ∂ y * = - d p * d x * + 1 R e L ∂ ² u * ∂ x * ²

Substituindo as Equações 6.31, 6.32 e 6.41 na Equação 6.35, obtemos:

u * ∂ u * ∂ x * =   u V ∂ u V ∂ x L = L V ² u ∂ u ∂ x

v * ∂ v * ∂ y * =   v V ∂ v V ∂ y L = L V ² v ∂ v ∂ y

1 R e L ∂ ² u * ∂ x * ² = ν V L   ∂ ² u V ∂ x L ² = L V ² ν ∂ ² u ∂ x ²

Por fim, a pressão adimensional pode ser expressa como:

d p * d x * = L ρ V ² d p ∞ d x *  

Mas se o gradiente de pressão for nulo:

d p * d x * = L ρ V 2 0 = 0

Por fim, se somarmos os três componentes da equação 6.35:

L V ² u ∂ u ∂ x + L V ² v ∂ v ∂ y = L V ² ν ∂ ² u ∂ x ²

Agora, se dividirmos os dois lados da equação por L V ² , obtemos:

u ∂ u ∂ x + v ∂ v ∂ y = ν ∂ ² u ∂ x ²

Que é exatamente igual à Equação 6.28.

Resposta

(a) As condições de contorno dimensionais são u x L , 0 = 0 e u x L , ∞ = u ∞ .

(b) Como demonstrado no Passo 2, a equação deduzida é igual à Equação 6.28 .

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