Enunciado

34 - Um fabricante faz placas absorvedoras de 1,2   m   ×   0,8   m para utilização em coletores solares. O verso da placa é bem isolado, enquanto sua superfície frontal é revestida com cromo preto que tem absortividade de 0,87 e emissividade 0,09 . Considere essa placa colocada horizontalmente ao ar livre no ar calmo a 25   ° C . A radiação solar está incidindo sobre a placa a uma taxa de 600   W / m 2  . Tomando a temperatura efetiva do céu de 10   ° C , determine a temperatura de equilíbrio da placa absorvedora. Qual seria sua resposta se a placa absorvedora fosse feita de alumínio comum, que tem absortividade solar de 0,28 e emissividade de 0,07 ?

Passo 1

Vamos supor ( chute ) que a temperatura da superfície da placa seja T s = 100   ℃ .

Portanto a temperatura de filme é dada por:

T f = T s + T ∞ 2

= 100 + 25 2

T f = 62,5   ℃

Portanto, temos as seguintes propriedades do ar para a pressão de 1   a t m e T f = 62,5   ℃ :

Condutividade térmica é:

k = 0,0282625 W m ⋅ ℃

Viscosidade cinemática é:

v = 1,92075 × 10 - 5 m 2 s

O número Prandtl é:

P r = 0,719575

Passo 2

O Coeficiente de expansão é:

β = 1 T f

= 1 62,5 + 273

β = 2,9806 × 10 - 3   K - 1

Encontre o comprimento da característica para a placa horizontal.

L c = A s p

Onde p é o perímetro.

= L × W 2 ( L + W )

Onde L é comprimento e W é a largura.

Portanto,

L c = 1,2 × 0,8 2 ( 1,2 + 0,8 )

= 0,24   m

Usando os valores acima, o número Rayleigh se torna:

R a D = g β T s - T ∞ D 3 v 2 P r

= 9,81 × ( 2,9806 × 10 - 3   ) 100 - 25 0,24 3 2,201 × 10 - 5 2 × ( 0,719575 )

= 5,9129 × 10 7

Passo 3

Da correlação empírica para o número médio de Nusselt para convenção natural sobre superfícies temos que para placa horizontal o Número de Nusselt ( N u ) para a faixa de R a é ( 10 7 - 10 11 ) .

N u = 0 , 1 5 R a L 1 / 3

= 0 , 1 5 × 5,9129 × 10 7 1 / 3

= 58,44

O coeficiente convectivo de transferência de calor do ar é determinado a partir da equação dada por:

N u = h L c k

Reescreva para achar h :

h = N u × k L c

= 58,44 × 0,0 28265 0 , 24

= 6,882   W m 2 ⋅ ℃

Passo 4

Temos que a área de superfície da placa é:

A s = 0,12 × 0,8

= 0,96   m 2

Como é uma operação constante, temos que:

Calor ganho pela radiação solar = calor perdido por convecção e radiação

O ganho de calor por radiação solar do cromo preto é dado por:

Q ˙ = ∝ s ⋅ q ˙ ⋅ A s

= 0,87 × 600 × 0,96

Q ˙ = 501,12   W

Passo 5

Como dito anteriormente, temos o valor do calor total ganho por meio da radiação sobre o revestimento de cromo preto. Logo, podemos igualar com a equação de perda de calor para achar a temperatura ( T s ) :

Q t o t a l = Q c o n v + Q r a d

501,12   W = h A s T T s - T ∞ + ε σ A s ( T s 4 - T a m b 4 )

501,12 = 6,882 × 0,96 T s - 25 2 + 5,67 × 10 - 8 × 0,96 × 0,09 ( T s + 273 4 - 283 4 )

501,12 = 6,607 T s - 25 2 + 4,9 × 10 - 9 ( T s + 273 4 - 283 4 )

T s = 92,38   ℃

Passo 6

Agora vamos repetir os cálculos para a placa de alumínio comum para que possamos comparar com os valores da placa de cromo preto.

O ganho de calor pela radiação solar nesse caso é:

Q ˙ = ∝ s ⋅ q ˙ ⋅ A s

= 0,28 × 600 × 0,96

Q ˙ = 161,28     W

Como feito para o alumínio, temos como achar a temperatura de equilibro por meio do balanço de energia abaixo.

Q t o t a l = Q c o n v + Q r a d

161,28   W = h A s T T s - T ∞ + ε σ A s ( T s 4 - T a m b 4 )

161,28 = 6,882 × 0,96 T s - 25 2 + 5,67 × 10 - 8 × 0,96 × 0,07 ( T s + 273 4 - 283 4 )

161,28 = 6,607 T s - 25 2 + 3,81024 × 10 - 9 ( T s + 273 4 - 283 4 )

T s = 47,058     ℃

Isto não está perto do suposto, que assumimos como 100   ℃ .

Passo 7

Vamos supor um novo valor então. Agora vamos supor que a temperatura da superfície da placa seja T s = 55   ℃ . Lembre-se que chutamos um valor mais perto do que achamos no passo anterior.

Portanto a temperatura de filme é dada por:

T f = T s + T ∞ 2

= 55 + 25 2

T f = 50,00   ℃

Portanto, temos as seguintes propriedades do ar para a pressão de 1   a t m e T f = 50   ℃ :

Condutividade térmica é:

k = 0,02662 W m ⋅ ℃

Viscosidade cinemática é:

v = 1,702 × 10 - 5 m 2 s

O número Prandtl é:

P r = 0,7255

Passo 8

O Coeficiente de expansão é:

β = 1 T f

= 1 50 + 273

β = 3,1949 × 10 - 3   K - 1

Usando os valores acima, o número Rayleigh é:

R a D = g β T s - T ∞ D 3 v 2 P r

= 9,81 × ( 3,1949 × 10 - 3   ) 55 - 25 0,24 3 1,702 × 10 - 5 2 × ( 0,7255 )

= 3,255 × 10 7

Número de Nusselt,

N u = 0,15 R a L 1 / 3

= 0,15 × 3,255 × 10 7 1 / 3

= 47,895

O coeficiente convectivo de transferência de calor,

h = N u × k L c

= 47,895 × 0,02662 0,24

= 5,312   W m 2 ⋅ ℃

Passo 9

Agora, colocando os valores na equação da taxa de transferência de calor.

Q t o t a l = Q c o n v + Q r a d

161,28   W = h A s T T s - T ∞ + ε σ A s ( T s 4 - T a m b 4 )

161,28 = 5,312 × 0,96 T s - 25 2 + 5,67 × 10 - 8 × 0,96 × 0,07 ( T s + 273 4 - 283 4 )

161,28 = 5,0999 T s - 25 2 + 3,81024 × 10 - 9 ( T s + 273 4 - 283 4 )

T s = 53,518     ℃

Portanto, a temperatura de equilíbrio da superfície da placa é T s = 53,418   ℃ .

Resposta

T s = 53,418   ℃

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