Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa - Capítulo 4.Problemas - Ex. 49

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Seja uma aleta unidimensional, com área de seção transversal uniforme, isolada na sua extremidade, x = L . A temperatura na base da aleta T b e a do fluido vizinho T ∞ , bem como o coeficiente de transferência de calor h e a condutividade térmica k , são conhecidas.

(a) Deduza a equação de diferenças finitas para qualquer nó interior m .

(b) Deduza a equação de diferenças finitas para um nó n localizado na extremidade isolada.

Passo 1

Vamos começar desenhando as duas situações, começando com o nó interior m :

O balanço de energia em regime estacionário para o item (a) fica:

E ˙ e n t - E ˙ s a í d a + E ˙ g e r = 0

E ˙ e n t = 0

q 1 + q 2 + q c o n v = 0

Para o item (b) nosso volume de controle é:

Para o item (b) o balanço de energia fica:

E ˙ e n t - E ˙ s a í d a + E ˙ g e r = 0

E ˙ e n t = 0

q 1 + q c o n v = 0

Vamos agora descrever cada taxa de transferência de calor para os dois itens separadamente.

Passo 2

Para o item (a):

q 1 = q m - 1 → m

q 1 = k A 1 L 1 ∆ T 1

q 1 = k A ∆ x T m - 1 - T m

q 2 = q m + 1 → m

q 2 = k A 2 L 2 ∆ T 2

q 2 = k A ∆ x T m + 1 - T m

q c o n v = h A c o n v ∆ T c o n v

q c o n v = h P ∆ x T ∞ - T m

Substituindo no balanço de energia:

k A ∆ x T m - 1 - T m + k A ∆ x T m + 1 - T m + h P ∆ x T ∞ - T m = 0

T m - 1 - T m + T m + 1 - T m + h P ∆ x 2 k A T ∞ - T m = 0

T m - 1 + T m + 1 + h P ∆ x 2 k A T ∞ - 2 + h P ∆ x 2 k A T m = 0

Passo 3

Agora para a situação de um ponto n localizado na extremidade isolada:

q 1 = q n - 1 → n

q 1 = k A 1 L 1 ∆ T 1

q 1 = k A ∆ x T n - 1 - T n

q c o n v = h A c o n v ∆ T c o n v

q c o n v = h P ∆ x 2 T ∞ - T n

Aplicando no balanço de energia do item (b):

k A ∆ x T n - 1 - T n + h P ∆ x 2 T ∞ - T n = 0

T n - 1 - T n + h P ∆ x 2 2 k A T ∞ - T n = 0

T n - 1 + h P ∆ x 2 2 k A T ∞ - 1 + h P ∆ x 2 2 k A T n = 0

Resposta

(a) T m - 1 + T m + 1 + h P ∆ x 2 k A T ∞ - 2 + h P ∆ x 2 k A T m = 0 .

(b) T n - 1 + h P ∆ x 2 2 k A T ∞ - 1 + h P ∆ x 2 2 k A T n = 0 .

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